已知四边形$ABCD$是正方形,等腰$Rt\triangle AEF$的直角顶点$E$在直线$BC$上（不与点$B$,$C$重合）,$FM\bot AD$,交射线$AD$于点$M$.
$(1)$当点$E$在边$BC$上,点$M$在边$AD$的延长线上时,如图①,求证:$AB+BE=AM$,(提示:延长$MF$,交边$BC$的延长线于点$H)$
$(2)$当点$E$在边$CB$的延长线上,点$M$在边$AD$上时,如图②,线段$AB$,$BE$,$AM$之间的数量关系为______,并说明理由；当点$E$在边$BC$的延长线上,点$M$在边$AD$上时,如图③,线段$AB$,$BE$,$AM$之间的数量关系为______,不需要证明；
$(3)$在（1）、（2）的条件下,若$BE=3$,$\angle BAF=15^{\circ}$,则$AM$的长为______.