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九年级数学填空题一般
题目
已知四边形ABCDABCD是正方形,等腰Rt△AEFRt\triangle AEF的直角顶点EE在直线BCBC上（不与点BB,CC重合）,FM⊥ADFM\bot AD,交射线ADAD于点MM.
(1)(1)当点EE在边BCBC上,点MM在边ADAD的延长线上时,如图①,求证:AB+BE=AMAB+BE=AM,(提示:延长MFMF,交边BCBC的延长线于点H)H)
(2)(2)当点EE在边CBCB的延长线上,点MM在边ADAD上时,如图②,线段ABAB,BEBE,AMAM之间的数量关系为______,并说明理由；当点EE在边BCBC的延长线上,点MM在边ADAD上时,如图③,线段ABAB,BEBE,AMAM之间的数量关系为______,不需要证明；
(3)(3)在（1）、（2）的条件下,若BE=3BE=3,∠BAF=15∘\angle BAF=15^{\circ},则AMAM的长为______.
知识点：全等三角形的判定、等腰三角形的判定定理、正方形的性质章节：第1章 特殊的平行四边形 / 1.3 正方形的性质与判定

答案与解析

答案

(1)(1)证明：如图①，延长MFMF，交边BCBC的延长线于点HH，

∵\because四边形ABCDABCD是正方形，FM⊥ADFM\bot AD，
∴∠ABE=90∘\therefore \angle ABE=90^{\circ}，∠EHF=90∘\angle EHF=90^{\circ}，四边形ABHMABHM为矩形，
∴AM=BH=BE+EH\therefore AM=BH=BE+EH，
∵△AEF\because \triangle AEF为等腰直角三角形，
∴AE=AF\therefore AE=AF，∠AEB+∠FEH=90∘\angle AEB+\angle FEH=90^{\circ}，
∵∠EFH+∠FEH=90∘\because \angle EFH+\angle FEH=90^{\circ}，
∴∠AEB=∠EFH\therefore \angle AEB=\angle EFH，
在△ABE\triangle ABE与△EHF\triangle EHF中，
{∠ABE=∠EHF=90°∠AEB=∠EFHAE=EF\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠EHF=90°}\\{∠AEB=∠EFH}\\{AE=EF}\end{array}\right.，
∴△ABE\therefore \triangle ABE≌△EHF(AAS)\triangle EHF\left(AAS\right)，
∴AB=EH\therefore AB=EH，
∵AM=BH=BE+EH\because AM=BH=BE+EH，
∴AM=BE+AB\therefore AM=BE+AB，即AB+BE=AMAB+BE=AM；
(2)(2)当点EE在边CBCB的延长线上，点MM在边ADAD上时，AB=BE+AMAB=BE+AM；
证明：如图②，设CECE、MFMF相交于点HH，

∵∠AEB+∠FEH=90∘\because \angle AEB+\angle FEH=90^{\circ}，∠AEB+∠EAB=90∘\angle AEB+\angle EAB=90^{\circ}，
∴∠FEH=∠EAB\therefore \angle FEH=\angle EAB，
在△ABE\triangle ABE与△EHF\triangle EHF中，
{∠ABE=∠EHF∠EAB=∠FEHAE=FE\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠EHF}\\{∠EAB=∠FEH}\\{AE=FE}\end{array}\right.，
∴△ABE\therefore \triangle ABE≌△EHF(AAS)\triangle EHF\left(AAS\right)，
∴AB=EH=EB+AM\therefore AB=EH=EB+AM；
当点EE在边BCBC的延长线上，点MM在边ADAD上时，BE=AM+ABBE=AM+AB；
证明：∵∠BAE+∠AEB=90∘\because \angle BAE+\angle AEB=90^{\circ}，∠AEB+∠HEF=90∘\angle AEB+\angle HEF=90^{\circ}，
∴∠BAE=∠HEF\therefore \angle BAE=\angle HEF，
在△ABE\triangle ABE与△EHF\triangle EHF中，
{∠ABE=∠EHF∠BAE=∠HEFAE=FE\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠EHF}\\{∠BAE=∠HEF}\\{AE=FE}\end{array}\right.，
∴△ABE\therefore \triangle ABE≌△EHF(AAS)\triangle EHF\left(AAS\right)，
∴AB=EH\therefore AB=EH，
∴BE=BH+EH=AM+AB\therefore BE=BH+EH=AM+AB；
故答案为：BE=AM+ABBE=AM+AB；
(3)(3)如图①，∵∠AFM=15∘\because \angle AFM=15^{\circ}，∠AFE=45∘\angle AFE=45^{\circ}，
∴∠EFM=60∘\therefore \angle EFM=60^{\circ}，
∴∠EFH=120∘\therefore \angle EFH=120^{\circ}，
在△EFH\triangle EFH中，∠FHE=90∘\angle FHE=90^{\circ}，∠EFH=120∘\angle EFH=120^{\circ}，
∴\therefore此情况不存在；
如图②，∵∠AFM=15∘\because \angle AFM=15^{\circ}，∠AFE=45∘\angle AFE=45^{\circ}，
∴∠EFH=60∘\therefore \angle EFH=60^{\circ}，
∵△ABE\because \triangle ABE≌△EHF\triangle EHF，
∴∠EAB=∠EFH=60∘\therefore \angle EAB=\angle EFH=60^{\circ}，
∵BE=3\because BE=3，
∴AB=BE⋅tan⁡60∘=33\therefore AB=BE\cdot \tan 60^{\circ}=3\sqrt{3}，
∵AB=EB+AM\because AB=EB+AM，
∴AM=AB−EB=33−3\therefore AM=AB-EB=3\sqrt{3}-3；
如图③，∵∠AFM=15∘\because \angle AFM=15^{\circ}，∠AFE=45∘\angle AFE=45^{\circ}，
∴∠EFH=45∘−15∘=30∘\therefore \angle EFH=45^{\circ}-15^{\circ}=30^{\circ}，
∴∠AEB=30∘\therefore \angle AEB=30^{\circ}，
∵BE=3\because BE=3，
∴AB=BE⋅tan⁡30∘=3\therefore AB=BE\cdot \tan 30^{\circ}=\sqrt{3}，
∵BE=AM+AB\because BE=AM+AB，
AM=BE−AB=3−3AM=BE-AB=3-\sqrt{3}，
故答案为：33−33\sqrt{3}-3或3−33-\sqrt{3}.

解析

(1)(1)证明：如图①，延长MFMF，交边BCBC的延长线于点HH，

∵\because四边形ABCDABCD是正方形，FM⊥ADFM\bot AD，
∴∠ABE=90∘\therefore \angle ABE=90^{\circ}，∠EHF=90∘\angle EHF=90^{\circ}，四边形ABHMABHM为矩形，
∴AM=BH=BE+EH\therefore AM=BH=BE+EH，
∵△AEF\because \triangle AEF为等腰直角三角形，
∴AE=AF\therefore AE=AF，∠AEB+∠FEH=90∘\angle AEB+\angle FEH=90^{\circ}，
∵∠EFH+∠FEH=90∘\because \angle EFH+\angle FEH=90^{\circ}，
∴∠AEB=∠EFH\therefore \angle AEB=\angle EFH，
在△ABE\triangle ABE与△EHF\triangle EHF中，
{∠ABE=∠EHF=90°∠AEB=∠EFHAE=EF\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠EHF=90°}\\{∠AEB=∠EFH}\\{AE=EF}\end{array}\right.，
∴△ABE\therefore \triangle ABE≌△EHF(AAS)\triangle EHF\left(AAS\right)，
∴AB=EH\therefore AB=EH，
∵AM=BH=BE+EH\because AM=BH=BE+EH，
∴AM=BE+AB\therefore AM=BE+AB，即AB+BE=AMAB+BE=AM；
(2)(2)当点EE在边CBCB的延长线上，点MM在边ADAD上时，AB=BE+AMAB=BE+AM；
证明：如图②，设CECE、MFMF相交于点HH，

∵∠AEB+∠FEH=90∘\because \angle AEB+\angle FEH=90^{\circ}，∠AEB+∠EAB=90∘\angle AEB+\angle EAB=90^{\circ}，
∴∠FEH=∠EAB\therefore \angle FEH=\angle EAB，
在△ABE\triangle ABE与△EHF\triangle EHF中，
{∠ABE=∠EHF∠EAB=∠FEHAE=FE\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠EHF}\\{∠EAB=∠FEH}\\{AE=FE}\end{array}\right.，
∴△ABE\therefore \triangle ABE≌△EHF(AAS)\triangle EHF\left(AAS\right)，
∴AB=EH=EB+AM\therefore AB=EH=EB+AM；
当点EE在边BCBC的延长线上，点MM在边ADAD上时，BE=AM+ABBE=AM+AB；
证明：∵∠BAE+∠AEB=90∘\because \angle BAE+\angle AEB=90^{\circ}，∠AEB+∠HEF=90∘\angle AEB+\angle HEF=90^{\circ}，
∴∠BAE=∠HEF\therefore \angle BAE=\angle HEF，
在△ABE\triangle ABE与△EHF\triangle EHF中，
{∠ABE=∠EHF∠BAE=∠HEFAE=FE\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠EHF}\\{∠BAE=∠HEF}\\{AE=FE}\end{array}\right.，
∴△ABE\therefore \triangle ABE≌△EHF(AAS)\triangle EHF\left(AAS\right)，
∴AB=EH\therefore AB=EH，
∴BE=BH+EH=AM+AB\therefore BE=BH+EH=AM+AB；
故答案为：BE=AM+ABBE=AM+AB；
(3)(3)如图①，∵∠AFM=15∘\because \angle AFM=15^{\circ}，∠AFE=45∘\angle AFE=45^{\circ}，
∴∠EFM=60∘\therefore \angle EFM=60^{\circ}，
∴∠EFH=120∘\therefore \angle EFH=120^{\circ}，
在△EFH\triangle EFH中，∠FHE=90∘\angle FHE=90^{\circ}，∠EFH=120∘\angle EFH=120^{\circ}，
∴\therefore此情况不存在；
如图②，∵∠AFM=15∘\because \angle AFM=15^{\circ}，∠AFE=45∘\angle AFE=45^{\circ}，
∴∠EFH=60∘\therefore \angle EFH=60^{\circ}，
∵△ABE\because \triangle ABE≌△EHF\triangle EHF，
∴∠EAB=∠EFH=60∘\therefore \angle EAB=\angle EFH=60^{\circ}，
∵BE=3\because BE=3，
∴AB=BE⋅tan⁡60∘=33\therefore AB=BE\cdot \tan 60^{\circ}=3\sqrt{3}，
∵AB=EB+AM\because AB=EB+AM，
∴AM=AB−EB=33−3\therefore AM=AB-EB=3\sqrt{3}-3；
如图③，∵∠AFM=15∘\because \angle AFM=15^{\circ}，∠AFE=45∘\angle AFE=45^{\circ}，
∴∠EFH=45∘−15∘=30∘\therefore \angle EFH=45^{\circ}-15^{\circ}=30^{\circ}，
∴∠AEB=30∘\therefore \angle AEB=30^{\circ}，
∵BE=3\because BE=3，
∴AB=BE⋅tan⁡30∘=3\therefore AB=BE\cdot \tan 30^{\circ}=\sqrt{3}，
∵BE=AM+AB\because BE=AM+AB，
AM=BE−AB=3−3AM=BE-AB=3-\sqrt{3}，
故答案为：33−33\sqrt{3}-3或3−33-\sqrt{3}.

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