证明：$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AB=CD,AB$∥$CD$，
$\therefore AM$∥$CN$，
$\because M$、$N$分别是$AB$和$CD$的中点，
$\therefore AM=\frac{1}{2}AB$，$CN=\frac{1}{2}CD$，
$\therefore AM=CN$，
$\therefore$四边形$AMCN$是平行四边形，
$\because AC=BC$，
$\therefore \triangle ACB$是等腰三角形，
$\because M$是$AB$的中点，
$\therefore CM$是$\triangle ACB$的边$AB$上的高，
$\therefore \angle AMC=90^{\circ}$，
$\therefore$平行四边形$AMCN$是矩形.

证四边形$AMCN$是平行四边形，再由等腰三角形的性质得$\angle AMC=90^{\circ}$，即可得出结论.

【点评】

本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定和等腰三角形的性质是解题的关键.

证明：$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AB=CD,AB$∥$CD$，
$\therefore AM$∥$CN$，
$\because M$、$N$分别是$AB$和$CD$的中点，
$\therefore AM=\frac{1}{2}AB$，$CN=\frac{1}{2}CD$，
$\therefore AM=CN$，
$\therefore$四边形$AMCN$是平行四边形，
$\because AC=BC$，
$\therefore \triangle ACB$是等腰三角形，
$\because M$是$AB$的中点，
$\therefore CM$是$\triangle ACB$的边$AB$上的高，
$\therefore \angle AMC=90^{\circ}$，
$\therefore$平行四边形$AMCN$是矩形.

证四边形$AMCN$是平行四边形，再由等腰三角形的性质得$\angle AMC=90^{\circ}$，即可得出结论.

【点评】

本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定和等腰三角形的性质是解题的关键.