（1）过点$O$作$OH\bot EF$，垂足为点$H$，
$\because OH\bot EF$，
$\therefore \angle AHO=90^{\circ}$，
在$Rt\triangle AOH$中，$\because \angle AHO=90^{\circ}$，$\angle PAQ=30^{\circ}$，
$\therefore OH=\frac{1}{2}AO$，
$\because BC=10cm$，
$\therefore BO=5cm$.
$\because AO=AB+BO$，$AB=3cm$，
$\therefore AO=3+5=8cm$，
$\therefore OH=4cm$，即圆心$O$到$AQ$的距离为$4cm$.


$(2)$连接$OE$，
在$Rt\triangle EOH$中，
$\because \angle EHO=90^{\circ}$，$\therefore EH^{2}+HO^{2}=EO^{2}$，
$\because EO=5cm$，$OH=4cm$，
$\therefore EH=\sqrt{E{O}^{2}-O{H}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}=3cm$，
$\because OH$过圆心$O$，$OH\bot EF$，
$\therefore EF=2EH=6cm$.

（1）过点$O$作$OH\bot EF$，垂足为点$H$，
$\because OH\bot EF$，
$\therefore \angle AHO=90^{\circ}$，
在$Rt\triangle AOH$中，$\because \angle AHO=90^{\circ}$，$\angle PAQ=30^{\circ}$，
$\therefore OH=\frac{1}{2}AO$，
$\because BC=10cm$，
$\therefore BO=5cm$.
$\because AO=AB+BO$，$AB=3cm$，
$\therefore AO=3+5=8cm$，
$\therefore OH=4cm$，即圆心$O$到$AQ$的距离为$4cm$.


$(2)$连接$OE$，
在$Rt\triangle EOH$中，
$\because \angle EHO=90^{\circ}$，$\therefore EH^{2}+HO^{2}=EO^{2}$，
$\because EO=5cm$，$OH=4cm$，
$\therefore EH=\sqrt{E{O}^{2}-O{H}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}=3cm$，
$\because OH$过圆心$O$，$OH\bot EF$，
$\therefore EF=2EH=6cm$.