$\left(1\right)\left(i\right)\because |x+3|$是非负数，
$\therefore$其最小值是$0$.
$\because |x+3|-6$的值最小，
$\therefore |x+3|=0$，
$\therefore x+3=0$，解得$x=-3$，
$\therefore |x+3|-6$的值最小为$-6$；
答：当$x=-3$时，有最小值，最小值是$-6$；
$(ii)\because 5-|x-2|$的值最大，
$\therefore |x-2|$最小，
$\therefore x-2=0$，解得$x=2$，
$\therefore 5-|x-2|$的最大值是$5$.
答：当$x=2$时，有最大值，最大值是$5$；
$(2)\because x+y+z=0$，$xyz \lt 0$，
$\therefore x+y=-z$，$x+z=-y$，$y+z=-x$，
当$x \lt 0$，$y \gt 0$，$z \gt 0$时，
原式$=\frac{-z}{|z|}+\frac{-y}{|y|}+\frac{-x}{|x|}=-1-1+1=-1$；
当$y \lt 0$，$x \gt 0$，$z \gt 0$时，
原式$=\frac{-z}{|z|}+\frac{-y}{|y|}+\frac{-x}{|x|}=-1+1-1=-1$；
当$z \lt 0$，$x \gt 0$，$y \gt 0$时，
原式$=\frac{-z}{|z|}+\frac{-y}{|y|}+\frac{-x}{|x|}=1-1-1=-1$.

$\left(1\right)\left(i\right)\because |x+3|$是非负数，
$\therefore$其最小值是$0$.
$\because |x+3|-6$的值最小，
$\therefore |x+3|=0$，
$\therefore x+3=0$，解得$x=-3$，
$\therefore |x+3|-6$的值最小为$-6$；
答：当$x=-3$时，有最小值，最小值是$-6$；
$(ii)\because 5-|x-2|$的值最大，
$\therefore |x-2|$最小，
$\therefore x-2=0$，解得$x=2$，
$\therefore 5-|x-2|$的最大值是$5$.
答：当$x=2$时，有最大值，最大值是$5$；
$(2)\because x+y+z=0$，$xyz \lt 0$，
$\therefore x+y=-z$，$x+z=-y$，$y+z=-x$，
当$x \lt 0$，$y \gt 0$，$z \gt 0$时，
原式$=\frac{-z}{|z|}+\frac{-y}{|y|}+\frac{-x}{|x|}=-1-1+1=-1$；
当$y \lt 0$，$x \gt 0$，$z \gt 0$时，
原式$=\frac{-z}{|z|}+\frac{-y}{|y|}+\frac{-x}{|x|}=-1+1-1=-1$；
当$z \lt 0$，$x \gt 0$，$y \gt 0$时，
原式$=\frac{-z}{|z|}+\frac{-y}{|y|}+\frac{-x}{|x|}=1-1-1=-1$.