$(1)$根据$|x|$是非负数,且非负数中最小的数是$0$,解答下列问题.
$(i)x$取何值时,$|x+3|-6$的值最小,最小值是多少?
$(ii)x$取何值时,$5-|x-2|$的值最大,最大值是多少?
$(2)$已知若$a \gt 0$,则$|a|=a$,即$\frac{a}{|a|}=1$,若$a \lt 0$,则$|a|=-a$,即$\frac{a}{|a|}=\frac{a}{-a}=-1$,如果$x$、$y$、$z$是有理数,且$x+y+z=0$,$xyz \lt 0$时,求$\frac{x+y}{|z|}+\frac{x+z}{|y|}+\frac{y+z}{|x|}$的值.