$(1)$证明：$\because$四边形$ABCD$和$CEFG$都是正方形，
$\therefore AB=AD=DC=BC$，$GC=EC=FG=EF$，
$\because DH=CE=BK$，
$\therefore HG=EK=BC=AD=AB$，
在$\triangle ADH$和$\triangle ABK$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠ADH=∠ABK}\\{DH=BK}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ADH$≌$\triangle ABK\left(SAS\right)$，
$\therefore AK=AH$；
$(2)$证明：$\because \triangle ADH$≌$\triangle ABK$，
$\therefore \angle HAD=\angle BAK$.
$\therefore \angle HAK=90^{\circ}$，
同理可得：$\triangle HGF$≌$\triangle KEF$≌$\triangle ABK$≌$\triangle ADH$，
$\therefore AH=AK=HF=FK$，
$\therefore$四边形$AKFH$是正方形；
$(3)$$\because$四边形$AKFH$的面积为$10$，
$\therefore KF=\sqrt{10}$，
$\because EF=CE=1$，
$\therefore KE=\sqrt{K{F}^{2}-E{F}^{2}}=\sqrt{10-1}=3$，
$\therefore AB=KE=3$，
$\because BK=EF=1$，
$\therefore BE=BK+KE=4$，
$\therefore AE=\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}=5$，
故点$A$，$E$之间的距离为$5$.

$(1)$证明：$\because$四边形$ABCD$和$CEFG$都是正方形，
$\therefore AB=AD=DC=BC$，$GC=EC=FG=EF$，
$\because DH=CE=BK$，
$\therefore HG=EK=BC=AD=AB$，
在$\triangle ADH$和$\triangle ABK$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠ADH=∠ABK}\\{DH=BK}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ADH$≌$\triangle ABK\left(SAS\right)$，
$\therefore AK=AH$；
$(2)$证明：$\because \triangle ADH$≌$\triangle ABK$，
$\therefore \angle HAD=\angle BAK$.
$\therefore \angle HAK=90^{\circ}$，
同理可得：$\triangle HGF$≌$\triangle KEF$≌$\triangle ABK$≌$\triangle ADH$，
$\therefore AH=AK=HF=FK$，
$\therefore$四边形$AKFH$是正方形；
$(3)$$\because$四边形$AKFH$的面积为$10$，
$\therefore KF=\sqrt{10}$，
$\because EF=CE=1$，
$\therefore KE=\sqrt{K{F}^{2}-E{F}^{2}}=\sqrt{10-1}=3$，
$\therefore AB=KE=3$，
$\because BK=EF=1$，
$\therefore BE=BK+KE=4$，
$\therefore AE=\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}=5$，
故点$A$，$E$之间的距离为$5$.