题霸题霸学习平台
登录开始使用
← 返回公开题库
八年级数学填空题一般
题目
如图,∠BAC=∠ABD=50∘\angle BAC=\angle ABD=50^{\circ},PP为ABAB中点,点MM为射线ACAC上（不与点AA重合）的任意一点,连接MPMP,并使MPMP的延长线交射线BDBD于点NN,连接BMBM,ANAN,设∠BPN=α\angle BPN=\alpha.
(1)(1)求证:四边形AMBNAMBN是平行四边形；
(2)(2)当四边形AMBNAMBN是矩形时,求aa的度数.
(3)(3)当BM≠BNBM\neq BN时,aa的取值范围是______.(直接写出答案).(直接写出答案)
知识点：菱形的性质、正方形的性质、正方形的判定、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质章节：第1章 特殊的平行四边形 / 1.3 正方形的性质与判定

答案与解析

答案

(1)(1)证明：∵∠BAC=∠ABD=50∘\because \angle BAC=\angle ABD=50^{\circ}，
∴AM\therefore AM∥BNBN，
∵P\because P为ABAB中点，
∴AP=BP\therefore AP=BP，
∵∠APM=∠BPN\because \angle APM=\angle BPN，
∴△APM\therefore \triangle APM≌△BPN(ASA)\triangle BPN\left(ASA\right)，
∴AM=BN\therefore AM=BN，
∴\therefore四边形AMBNAMBN是平行四边形；
(2)(2)∵\because四边形AMBNAMBN是矩形，
∴AB=MN\therefore AB=MN，PN=12MNPN=\frac{1}{2}MN，PB=12ABPB=\frac{1}{2}AB，
∴PB=PN\therefore PB=PN，
∴△PBN\therefore \triangle PBN是等腰三角形，
∴∠PBN=∠BNP=50∘\therefore \angle PBN=\angle BNP=50^{\circ}，
∴\therefore在△PBN\triangle PBN中，∠BPN=180∘−2∠PBN=80∘\angle BPN=180^{\circ}-2\angle PBN=80^{\circ}，
即α=80∘\alpha =80^{\circ}；
(3)(3)∵BM≠BN\because BM\neq BN，四边形AMBNAMBN是平行四边形，
∴\therefore四边形AMBNAMBN不可能是菱形，
∴∠BPN\therefore \angle BPN不可能是直角，
即△BPN\triangle BPN不可能是直角三角形，
当0∘<α⩽40∘0^{\circ} \lt \alpha \leqslant 40^{\circ}时，90∘⩽∠BNP<130∘90^{\circ}\leqslant \angle BNP \lt 130^{\circ}，此时△BPN\triangle BPN是钝角三角形，
当40∘<α  <90∘40^{\circ} \lt \alpha\ \ \lt 90^{\circ}时，0∘<∠BNP<40∘0^{\circ} \lt \angle BNP \lt 40^{\circ}，此时△BPN\triangle BPN是锐角三角形，
当90∘<α  <130∘90^{\circ} \lt \alpha\ \ \lt 130^{\circ}时，0∘<∠BNP<40∘0^{\circ} \lt \angle BNP \lt 40^{\circ}，此时△BPN\triangle BPN是钝角三角形，
综上可知，当BM≠BNBM\neq BN时，aa的取值范围是0∘<α  <90∘0^{\circ} \lt \alpha\ \ \lt 90^{\circ}或90∘<α  <130∘90^{\circ} \lt \alpha\ \ \lt 130^{\circ}，
故答案为：0∘<α  <90∘0^{\circ} \lt \alpha\ \ \lt 90^{\circ}或90∘<α  <130∘90^{\circ} \lt \alpha\ \ \lt 130^{\circ}.

解析

(1)(1)证明：∵∠BAC=∠ABD=50∘\because \angle BAC=\angle ABD=50^{\circ}，
∴AM\therefore AM∥BNBN，
∵P\because P为ABAB中点，
∴AP=BP\therefore AP=BP，
∵∠APM=∠BPN\because \angle APM=\angle BPN，
∴△APM\therefore \triangle APM≌△BPN(ASA)\triangle BPN\left(ASA\right)，
∴AM=BN\therefore AM=BN，
∴\therefore四边形AMBNAMBN是平行四边形；
(2)(2)∵\because四边形AMBNAMBN是矩形，
∴AB=MN\therefore AB=MN，PN=12MNPN=\frac{1}{2}MN，PB=12ABPB=\frac{1}{2}AB，
∴PB=PN\therefore PB=PN，
∴△PBN\therefore \triangle PBN是等腰三角形，
∴∠PBN=∠BNP=50∘\therefore \angle PBN=\angle BNP=50^{\circ}，
∴\therefore在△PBN\triangle PBN中，∠BPN=180∘−2∠PBN=80∘\angle BPN=180^{\circ}-2\angle PBN=80^{\circ}，
即α=80∘\alpha =80^{\circ}；
(3)(3)∵BM≠BN\because BM\neq BN，四边形AMBNAMBN是平行四边形，
∴\therefore四边形AMBNAMBN不可能是菱形，
∴∠BPN\therefore \angle BPN不可能是直角，
即△BPN\triangle BPN不可能是直角三角形，
当0∘<α⩽40∘0^{\circ} \lt \alpha \leqslant 40^{\circ}时，90∘⩽∠BNP<130∘90^{\circ}\leqslant \angle BNP \lt 130^{\circ}，此时△BPN\triangle BPN是钝角三角形，
当40∘<α  <90∘40^{\circ} \lt \alpha\ \ \lt 90^{\circ}时，0∘<∠BNP<40∘0^{\circ} \lt \angle BNP \lt 40^{\circ}，此时△BPN\triangle BPN是锐角三角形，
当90∘<α  <130∘90^{\circ} \lt \alpha\ \ \lt 130^{\circ}时，0∘<∠BNP<40∘0^{\circ} \lt \angle BNP \lt 40^{\circ}，此时△BPN\triangle BPN是钝角三角形，
综上可知，当BM≠BNBM\neq BN时，aa的取值范围是0∘<α  <90∘0^{\circ} \lt \alpha\ \ \lt 90^{\circ}或90∘<α  <130∘90^{\circ} \lt \alpha\ \ \lt 130^{\circ}，
故答案为：0∘<α  <90∘0^{\circ} \lt \alpha\ \ \lt 90^{\circ}或90∘<α  <130∘90^{\circ} \lt \alpha\ \ \lt 130^{\circ}.

自由组卷

围绕这道题再组一份练习 →

完整试卷

浏览同年级试卷结构 →