如图,$\angle BAC=\angle ABD=50^{\circ}$,$P$为$AB$中点,点$M$为射线$AC$上（不与点$A$重合）的任意一点,连接$MP$,并使$MP$的延长线交射线$BD$于点$N$,连接$BM$,$AN$,设$\angle BPN=\alpha$.
$(1)$求证:四边形$AMBN$是平行四边形；
$(2)$当四边形$AMBN$是矩形时,求$a$的度数.
$(3)$当$BM\neq BN$时,$a$的取值范围是______$.(直接写出答案)$