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九年级数学解答题一般
题目
如图,梯形ABCDABCD中,AD,AD∥BCBC,点EE是边ADAD的中点,联结BEBE交ACAC于点FF,BEBE的延长线交CDCD的延长线于点GG.
(1)(1)求证:GE⋅BC=GB⋅AEGE\cdot BC=GB\cdot AE；
(2)(2)若GE=4GE=4,BF=6BF=6,求线段EFEF的长.
知识点：运用公式法、相似三角形的性质I、相似三角形的判定与性质章节：第12章 因式分解 / 12.2 因式分解的方法

答案与解析

答案

(1)(1)证明：∵AD\because AD∥BCBC，
∴△GED\therefore \triangle GED∽△GBC\triangle GBC，
∴GEGB=DEBC\therefore \frac{GE}{GB}=\frac{DE}{BC}，
∵\because点EE是边ADAD的中点，
∴AE=DE\therefore AE=DE，
∴GEGB=AEBC\therefore \frac{GE}{GB}=\frac{AE}{BC}，
∴GE⋅BC=GB⋅AE\therefore GE\cdot BC=GB\cdot AE；
(2)(2)∵AD\because AD∥BCBC，
∴△AEF\therefore \triangle AEF∽△CBF\triangle CBF，
∴AEBC=EFBF\therefore \frac{AE}{BC}=\frac{EF}{BF}，
由（1）知，GEGB=AEBC\frac{GE}{GB}=\frac{AE}{BC}，
∴GEGB=EFBF\therefore \frac{GE}{GB}=\frac{EF}{BF}，
设EF=xEF=x，
∵GE=4\because GE=4，BF=6BF=6，
∴410+x=x6\therefore \frac{4}{10+x}=\frac{x}{6}，
解得x1=2x_{1}=2，x2=−12(不合题意，舍去)x_{2}=-12(不合题意，舍去)，
∴EF=2\therefore EF=2.

解析

(1)(1)证明：∵AD\because AD∥BCBC，
∴△GED\therefore \triangle GED∽△GBC\triangle GBC，
∴GEGB=DEBC\therefore \frac{GE}{GB}=\frac{DE}{BC}，
∵\because点EE是边ADAD的中点，
∴AE=DE\therefore AE=DE，
∴GEGB=AEBC\therefore \frac{GE}{GB}=\frac{AE}{BC}，
∴GE⋅BC=GB⋅AE\therefore GE\cdot BC=GB\cdot AE；
(2)(2)∵AD\because AD∥BCBC，
∴△AEF\therefore \triangle AEF∽△CBF\triangle CBF，
∴AEBC=EFBF\therefore \frac{AE}{BC}=\frac{EF}{BF}，
由（1）知，GEGB=AEBC\frac{GE}{GB}=\frac{AE}{BC}，
∴GEGB=EFBF\therefore \frac{GE}{GB}=\frac{EF}{BF}，
设EF=xEF=x，
∵GE=4\because GE=4，BF=6BF=6，
∴410+x=x6\therefore \frac{4}{10+x}=\frac{x}{6}，
解得x1=2x_{1}=2，x2=−12(不合题意，舍去)x_{2}=-12(不合题意，舍去)，
∴EF=2\therefore EF=2.

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