因为$x^{2}+2x-3=\left(x+3\right)\left(x-1\right)$,这说明多项式$x^{2}+2x-3$有一个因式为$x-1$,我们把$x=1$代入多项式,发现$x=1$能使多项式$x^{2}+2x-3$的值为$0$.
利用上述规律,回答下列问题:
$(1)$若$x-3$是多项式$x^{2}+kx+12$的一个因式,求$k$的值.
$(2)$若$x-3$和$x-4$是多项式$x^{3}+mx^{2}+12x+n$的两个因式,试求$m$、$n$的值,并将该多项式因式分解.
$(3)$分解因式:$2x^{3}-x^{2}-5x-2$.