发现：$AP=BP\’$；理由如下：
当$\alpha =0^{\circ}$或$180^{\circ}$时，点$A$、$P$、$O$三点共线，点$B$、${P\’}$、$O$三点共线，
$\because OA=OB$，$OP=OP\’$，
$\therefore AP=BP\’$，
当$\alpha \neq 0^{\circ}$或$180^{\circ}$时，
由旋转的性质得：$\angle AOP=\angle BOP\’$，
在$\triangle AOP$和$\triangle BOP\’$中，
$\left\{\begin{array}{l}{OP=OP′}\\{∠AOP=∠BOP′}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle AOP$≌$\triangle BOP\’\left(SAS\right)$，
$\therefore AP=BP\’$，
综上所述，若$\triangle AOB$不动，让扇形$POP\’$绕点$O$逆时针旋转一周，$AP$、$BP\’$的数量关系为：$AP=BP\’$，
故答案为：$AP=BP\’$；
$(1)$扇形$POP\’$绕到点$O$的左侧，当$OP$∥$AB$时，如图$4$，.

$\because OP$∥$AB$，
$\therefore \angle AOP=\angle OAB=\frac{1}{2}\times \left(180^{\circ}-\angle AOB\right)=\frac{1}{2}\times \left(180^{\circ}-80^{\circ}\right)=50^{\circ}$，
$\therefore$旋转角$\alpha =360^{\circ}-50^{\circ}=310^{\circ}$，
故答案为：$310$；
$(2)$如图$5$，

$\because AP$与$\widehat {PP\’}$相切，
$\therefore AP\bot OP$，即$\triangle APO$是直角三角形，
$\therefore AP=\sqrt{O{A}^{2}-O{P}^{2}}=\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}=8$，
由发现知：$AP=BP\’$，
$\therefore BP\’=8$；
$(3)$由题意得：点$Q$在以点$O$为圆心、$OP$的长为半径的圆上，如图$6$，

当$OQ\bot OA$时，$\triangle AOQ$的面积最大，
①当点$Q$在点$O$的右侧时，记为${Q\’}$，
$\because OQ\’\bot OA$，
$\therefore \angle AOQ\’=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BOQ\’=\angle AOQ\’-\angle AOB=90^{\circ}-80^{\circ}=10^{\circ}$；
②当点$Q$在点$O$的左侧时，记为$Q$″，
$\because OQ$″$\bot OA$，
$\therefore \angle AOQ$″$=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BOQ$″$=\angle AOQ$″$+\angle AOB=90^{\circ}+80^{\circ}=170^{\circ}$；
综上所述，$\angle BOQ$的度数为$10^{\circ}$或$170^{\circ}$.

发现：$AP=BP\’$；理由如下：
当$\alpha =0^{\circ}$或$180^{\circ}$时，点$A$、$P$、$O$三点共线，点$B$、${P\’}$、$O$三点共线，
$\because OA=OB$，$OP=OP\’$，
$\therefore AP=BP\’$，
当$\alpha \neq 0^{\circ}$或$180^{\circ}$时，
由旋转的性质得：$\angle AOP=\angle BOP\’$，
在$\triangle AOP$和$\triangle BOP\’$中，
$\left\{\begin{array}{l}{OP=OP′}\\{∠AOP=∠BOP′}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle AOP$≌$\triangle BOP\’\left(SAS\right)$，
$\therefore AP=BP\’$，
综上所述，若$\triangle AOB$不动，让扇形$POP\’$绕点$O$逆时针旋转一周，$AP$、$BP\’$的数量关系为：$AP=BP\’$，
故答案为：$AP=BP\’$；
$(1)$扇形$POP\’$绕到点$O$的左侧，当$OP$∥$AB$时，如图$4$，.

$\because OP$∥$AB$，
$\therefore \angle AOP=\angle OAB=\frac{1}{2}\times \left(180^{\circ}-\angle AOB\right)=\frac{1}{2}\times \left(180^{\circ}-80^{\circ}\right)=50^{\circ}$，
$\therefore$旋转角$\alpha =360^{\circ}-50^{\circ}=310^{\circ}$，
故答案为：$310$；
$(2)$如图$5$，

$\because AP$与$\widehat {PP\’}$相切，
$\therefore AP\bot OP$，即$\triangle APO$是直角三角形，
$\therefore AP=\sqrt{O{A}^{2}-O{P}^{2}}=\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}=8$，
由发现知：$AP=BP\’$，
$\therefore BP\’=8$；
$(3)$由题意得：点$Q$在以点$O$为圆心、$OP$的长为半径的圆上，如图$6$，

当$OQ\bot OA$时，$\triangle AOQ$的面积最大，
①当点$Q$在点$O$的右侧时，记为${Q\’}$，
$\because OQ\’\bot OA$，
$\therefore \angle AOQ\’=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BOQ\’=\angle AOQ\’-\angle AOB=90^{\circ}-80^{\circ}=10^{\circ}$；
②当点$Q$在点$O$的左侧时，记为$Q$″，
$\because OQ$″$\bot OA$，
$\therefore \angle AOQ$″$=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BOQ$″$=\angle AOQ$″$+\angle AOB=90^{\circ}+80^{\circ}=170^{\circ}$；
综上所述，$\angle BOQ$的度数为$10^{\circ}$或$170^{\circ}$.