B

应该添加的条件是$AC=BD$；
连接$AC$、$BD$，

$\because E$、$F$、$G$、$H$分别为四边形$ABCD$四条边上的中点，
$\therefore HG$、$EF$分别为$\triangle BAC$和$\triangle DAC$的中位线，
$\therefore EF=\frac{1}{2}AC，HG=\frac{1}{2}AC$，
同理$EH=\frac{1}{2}BD，FG=\frac{1}{2}BD$，
又$\because AC=BD$，
$\therefore EF=EH=HG=FG$，
$\therefore$四边形$EFGH$是菱形，
故选：$B$.