C

$\odot O$的优弧$AC$上取一点$D$，连接$AD$、$CD$，连接$OA$、$OC$，

$\because \angle ABC=150^{\circ}$，
$\therefore \angle ADC=180^{\circ}-\angle ABC=30^{\circ}$，
$\therefore \angle AOC=2\angle ADC=60^{\circ}$，
$\because OA=OC$，
$\therefore \triangle ACO$是等边三角形，
$\therefore OA=OC=AC=6$，
$\therefore \odot O$的半径是$6$.
故选：$C$.