连接$OD$，$OE$，$OF$，如图，设$\odot O$的半径为$r$，
在$Rt\triangle ABC$中，$\because \angle C=90^{\circ}$，
$\therefore AB=\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}=5$，
$\because \odot O$是$\triangle ABC$的内切圆，切点分别为$D$、$E$、$F$，
$\therefore OD=OE=OF$，$OD\bot AB$，$OE\bot BC$，$OF\bot AC$，$BD=BE$，$AD=AF$，$CE=CF$，
$\because \angle C=\angle OEC=\angle OFC=90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$OECF$为正方形，
$\therefore CE=CF=r$，
$\because BE=4-r$，$AF=3-r$，
$\therefore AB=BD+AD=BE+AF=4-r+3-r=7-2r$，
而$AB=5$，
$\therefore 7-2r=5$，
解得$r=1$，
即$\odot O$的半径为$1$.
故答案为：$1$.

连接$OD$，$OE$，$OF$，如图，设$\odot O$的半径为$r$，
在$Rt\triangle ABC$中，$\because \angle C=90^{\circ}$，
$\therefore AB=\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}=5$，
$\because \odot O$是$\triangle ABC$的内切圆，切点分别为$D$、$E$、$F$，
$\therefore OD=OE=OF$，$OD\bot AB$，$OE\bot BC$，$OF\bot AC$，$BD=BE$，$AD=AF$，$CE=CF$，
$\because \angle C=\angle OEC=\angle OFC=90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$OECF$为正方形，
$\therefore CE=CF=r$，
$\because BE=4-r$，$AF=3-r$，
$\therefore AB=BD+AD=BE+AF=4-r+3-r=7-2r$，
而$AB=5$，
$\therefore 7-2r=5$，
解得$r=1$，
即$\odot O$的半径为$1$.
故答案为：$1$.