如图，延长$DA$、$CB$，交于点$G$，

设$BG=x$，$AG=y$，则$CG=CB+BG=20+x$，$DG=AD+AG=10+y$，
$\because \tan \angle G=\frac{AB}{BG}=\frac{CD}{DG}$，即$\frac{10}{x}=\frac{20}{10+y}$，
$\therefore y=2x-10$，
$\therefore AG=2x-10$，
在$Rt\triangle AGB$中，$AB^{2}+BG^{2}=AG^{2}$，
$\therefore 10^{2}+x^{2}=\left(2x-10\right)^{2}$，
解得：$x_{1}=0(舍去)$，$x_{2}=\frac{40}{3}$，
$\therefore BG=\frac{40}{3}$，$AG=2\times \frac{40}{3}-10=\frac{50}{3}$，$DG=AG+AD=\frac{50}{3}+10=\frac{80}{3}$，
$\because E$是$AD$的中点，
$\therefore AE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}\times 10=5$，
$\therefore EG=AE+AG=5+\frac{50}{3}=\frac{65}{3}$，
$\because EF$∥$DC$，
$\therefore \angle GEF=\angle D=90^{\circ}$，
$\because \tan \angle G=\frac{AB}{BG}=\frac{EF}{EG}$，
$\therefore EF=\frac{AB•EG}{BG}=\frac{10×\frac{65}{3}}{\frac{40}{3}}=\frac{65}{4}$.
故答案为：$\frac{65}{4}$.

如图，延长$DA$、$CB$，交于点$G$，

设$BG=x$，$AG=y$，则$CG=CB+BG=20+x$，$DG=AD+AG=10+y$，
$\because \tan \angle G=\frac{AB}{BG}=\frac{CD}{DG}$，即$\frac{10}{x}=\frac{20}{10+y}$，
$\therefore y=2x-10$，
$\therefore AG=2x-10$，
在$Rt\triangle AGB$中，$AB^{2}+BG^{2}=AG^{2}$，
$\therefore 10^{2}+x^{2}=\left(2x-10\right)^{2}$，
解得：$x_{1}=0(舍去)$，$x_{2}=\frac{40}{3}$，
$\therefore BG=\frac{40}{3}$，$AG=2\times \frac{40}{3}-10=\frac{50}{3}$，$DG=AG+AD=\frac{50}{3}+10=\frac{80}{3}$，
$\because E$是$AD$的中点，
$\therefore AE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}\times 10=5$，
$\therefore EG=AE+AG=5+\frac{50}{3}=\frac{65}{3}$，
$\because EF$∥$DC$，
$\therefore \angle GEF=\angle D=90^{\circ}$，
$\because \tan \angle G=\frac{AB}{BG}=\frac{EF}{EG}$，
$\therefore EF=\frac{AB•EG}{BG}=\frac{10×\frac{65}{3}}{\frac{40}{3}}=\frac{65}{4}$.
故答案为：$\frac{65}{4}$.