$(1)$如图$1$中，

$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore \angle B=\angle C=90^{\circ}$，$AD=BC=8$，
$\because BE=5$，
$\therefore EC=BC-BE=8-5=3$，
$\because \angle DEF=90^{\circ}$，
$\therefore \angle FEB+\angle DEC=90^{\circ}$，$\angle DEC+\angle EDC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BEF=\angle EDC$，
$\therefore \triangle EBF$∽$\triangle DCE$，
$\therefore \frac{BF}{CE}=\frac{EB}{DC}$，
$\therefore \frac{BF}{3}=\frac{5}{6}$，
$\therefore BF=\frac{5}{2}$.

$(2)$证明：如图$2$，在$AB$上取点$G$，使$BG=BE$，连接$EG$，则$\triangle BEG$为等边三角形，

$\therefore \angle BGE=\angle BEG=60^{\circ}$，
$\therefore \angle EGF=180^{\circ}-\angle BGE=120^{\circ}$.
$\because$四边形$ABCD$为平行四边形，$\angle B=60^{\circ}$，
$\therefore \angle C=120^{\circ}=\angle EGF$，
$\therefore \angle CED+\angle CDE=60^{\circ}$.
$\because \angle DEF=60^{\circ}$，$\angle BEG=60^{\circ}$，
$\therefore \angle GEF+\angle CED=180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}$，
$\therefore \angle CDE=\angle GEF$，
$\therefore \triangle CDE$∽$\triangle GEF$，
$\therefore \frac{DE}{EF}=\frac{CD}{GE}$，
$\because BE=GE$，
$\therefore \frac{EF}{ED}=\frac{BE}{CD}$.

$(3)$如图$3$中，

由题意得，$BD$为线段$CC\’$的垂直平分线，设$CC\’$与$BD$交点为$M$，
$\because \angle ABC=90^{\circ}$，
$\therefore$平行四边形$ABCD$为矩形，
$\therefore BD=\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}=10$，$OC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BD=5$，$CM=\frac{BC•CD}{BD}=\frac{24}{5}$，
$\therefore OM=\sqrt{O{C}^{2}-C{M}^{2}}=\frac{7}{5}$，
$\because$点$O$为$AC$的中点，点$M$为$CC\’$的中点，
$\therefore AC\’=2OM=\frac{14}{5}$，且$AC\’$∥$BD$，
$\therefore \triangle AGC\’$∽$\triangle DGO$，
$\therefore \frac{AG}{DG}=\frac{AC′}{DO}=\frac{\frac{14}{5}}{5}=\frac{14}{25}$，
$\therefore AG=\frac{14}{39}\cdot AD=\frac{112}{39}$.

$(1)$如图$1$中，

$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore \angle B=\angle C=90^{\circ}$，$AD=BC=8$，
$\because BE=5$，
$\therefore EC=BC-BE=8-5=3$，
$\because \angle DEF=90^{\circ}$，
$\therefore \angle FEB+\angle DEC=90^{\circ}$，$\angle DEC+\angle EDC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BEF=\angle EDC$，
$\therefore \triangle EBF$∽$\triangle DCE$，
$\therefore \frac{BF}{CE}=\frac{EB}{DC}$，
$\therefore \frac{BF}{3}=\frac{5}{6}$，
$\therefore BF=\frac{5}{2}$.

$(2)$证明：如图$2$，在$AB$上取点$G$，使$BG=BE$，连接$EG$，则$\triangle BEG$为等边三角形，

$\therefore \angle BGE=\angle BEG=60^{\circ}$，
$\therefore \angle EGF=180^{\circ}-\angle BGE=120^{\circ}$.
$\because$四边形$ABCD$为平行四边形，$\angle B=60^{\circ}$，
$\therefore \angle C=120^{\circ}=\angle EGF$，
$\therefore \angle CED+\angle CDE=60^{\circ}$.
$\because \angle DEF=60^{\circ}$，$\angle BEG=60^{\circ}$，
$\therefore \angle GEF+\angle CED=180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}$，
$\therefore \angle CDE=\angle GEF$，
$\therefore \triangle CDE$∽$\triangle GEF$，
$\therefore \frac{DE}{EF}=\frac{CD}{GE}$，
$\because BE=GE$，
$\therefore \frac{EF}{ED}=\frac{BE}{CD}$.

$(3)$如图$3$中，

由题意得，$BD$为线段$CC\’$的垂直平分线，设$CC\’$与$BD$交点为$M$，
$\because \angle ABC=90^{\circ}$，
$\therefore$平行四边形$ABCD$为矩形，
$\therefore BD=\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}=10$，$OC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BD=5$，$CM=\frac{BC•CD}{BD}=\frac{24}{5}$，
$\therefore OM=\sqrt{O{C}^{2}-C{M}^{2}}=\frac{7}{5}$，
$\because$点$O$为$AC$的中点，点$M$为$CC\’$的中点，
$\therefore AC\’=2OM=\frac{14}{5}$，且$AC\’$∥$BD$，
$\therefore \triangle AGC\’$∽$\triangle DGO$，
$\therefore \frac{AG}{DG}=\frac{AC′}{DO}=\frac{\frac{14}{5}}{5}=\frac{14}{25}$，
$\therefore AG=\frac{14}{39}\cdot AD=\frac{112}{39}$.