如图，延长$CB$至$E$，使$BE=CD$，连接$AE$，作$AF\bot BC$于点$F$.

$\because$四边形的内角和是$360^{\circ}$，$\angle BAD+\angle BCD=180^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC+\angle D=180^{\circ}$，
$\because \angle ABE+\angle ABC=180^{\circ}$，
$\therefore \angle ABE=\angle D$.
在$\triangle ABE$和$\triangle ADC$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=\;AD}\\{∠ABE=∠D}\\{BE=CD}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ABE$≌$\triangle ADC\left(SAS\right)$，
$\therefore AE=AC=10$，$\angle E=\angle ACD$.
$\because AF\bot BC$，
$\therefore EF=FC$.
在$Rt\triangle AEF$中，$sinE=\frac{AF}{AE}=sin∠ACD=\frac{4}{5}$，
$\therefore AF=\frac{4}{5}AE=\frac{4}{5}\times 10=8$，
在直角三角形$AFE$中，由勾股定理得$EF=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6$，
$\therefore FC=6$，
$\therefore EC=12$，
$\therefore S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ACE}=\frac{1}{2}CE\cdot AF=\frac{1}{2}\times 12\times 8=48$，
故答案为：$48$.

如图，延长$CB$至$E$，使$BE=CD$，连接$AE$，作$AF\bot BC$于点$F$.

$\because$四边形的内角和是$360^{\circ}$，$\angle BAD+\angle BCD=180^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC+\angle D=180^{\circ}$，
$\because \angle ABE+\angle ABC=180^{\circ}$，
$\therefore \angle ABE=\angle D$.
在$\triangle ABE$和$\triangle ADC$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=\;AD}\\{∠ABE=∠D}\\{BE=CD}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ABE$≌$\triangle ADC\left(SAS\right)$，
$\therefore AE=AC=10$，$\angle E=\angle ACD$.
$\because AF\bot BC$，
$\therefore EF=FC$.
在$Rt\triangle AEF$中，$sinE=\frac{AF}{AE}=sin∠ACD=\frac{4}{5}$，
$\therefore AF=\frac{4}{5}AE=\frac{4}{5}\times 10=8$，
在直角三角形$AFE$中，由勾股定理得$EF=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6$，
$\therefore FC=6$，
$\therefore EC=12$，
$\therefore S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ACE}=\frac{1}{2}CE\cdot AF=\frac{1}{2}\times 12\times 8=48$，
故答案为：$48$.