$(1)$证明：$\because AB=AC$，$AD$平分$\angle BAC$，
$\therefore AD\bot BC$且$D$是$BC$的中点，
$\therefore$直线$AD$是线段$BC$的垂直平分线，
$\therefore EB=EC$；
$(2)$①证明：连接$EH$，如图，

$\because AE=ED$，$H$是$AC$的中点，
$\therefore$中位线$EH$∥$BC$，
$\because AD\bot BC$，
$\therefore AD\bot EH$，
$\because DF\bot AB,HG$∥$AB$，
$\therefore DF\bot HG$，$\angle BED=\angle EMH$，
$\therefore \cos \angle BED=\cos \angle EMH$，
$\therefore \frac{EF}{DE}=\frac{EM}{MH}$，
$\therefore \frac{EF}{AE}=\frac{EM}{MH}$，
$\therefore EF\cdot MH=EM\cdot AE$；
②连接$DH$，如图，

$\because AE=EB$，
$\therefore \angle 1=\angle 7$，
$\therefore \angle 3=\angle 1+\angle 7=2\angle 1=2\angle 2$，
$\because HG$∥$EB$，
$\therefore \angle 3=\angle 4$，
$\because AD\bot BC$，$H$是$AC$的中点，
$\therefore DH=\frac{1}{2}AC=AH$，
$\therefore \angle 5=\angle 2$，
$\therefore \angle 4=\angle 3=2\angle 2=2\angle 5$，
$\therefore \angle 4=\angle 5+\angle 6$，
$\therefore \angle 5=\angle 6$，
$\therefore \angle 6=\angle 2$，
连结$EH$，
$\because AE=EB=EC$，$H$是$AC$的中点，
$\therefore EH\bot AC$，
$\therefore tan∠EAH=tan∠2=\frac{EH}{AH}=\frac{1}{3}$，
$\therefore EH^{2}+AH^{2}=EH^{2}+\left(3EH\right)^{2}=AE^{2}=10^{2}$，
$\therefore EH=\sqrt{10}$，$AH=3\sqrt{10}=DH$，
$\therefore tan∠6=tan∠2=\frac{GD}{GH}=\frac{1}{3}$，
$\therefore GD^{2}+GH^{2}=GD^{2}+\left(3GD\right)^{2}=HD^{2}=90$，
$\therefore GD=3$，
$\therefore GH=9$.

$(1)$证明：$\because AB=AC$，$AD$平分$\angle BAC$，
$\therefore AD\bot BC$且$D$是$BC$的中点，
$\therefore$直线$AD$是线段$BC$的垂直平分线，
$\therefore EB=EC$；
$(2)$①证明：连接$EH$，如图，

$\because AE=ED$，$H$是$AC$的中点，
$\therefore$中位线$EH$∥$BC$，
$\because AD\bot BC$，
$\therefore AD\bot EH$，
$\because DF\bot AB,HG$∥$AB$，
$\therefore DF\bot HG$，$\angle BED=\angle EMH$，
$\therefore \cos \angle BED=\cos \angle EMH$，
$\therefore \frac{EF}{DE}=\frac{EM}{MH}$，
$\therefore \frac{EF}{AE}=\frac{EM}{MH}$，
$\therefore EF\cdot MH=EM\cdot AE$；
②连接$DH$，如图，

$\because AE=EB$，
$\therefore \angle 1=\angle 7$，
$\therefore \angle 3=\angle 1+\angle 7=2\angle 1=2\angle 2$，
$\because HG$∥$EB$，
$\therefore \angle 3=\angle 4$，
$\because AD\bot BC$，$H$是$AC$的中点，
$\therefore DH=\frac{1}{2}AC=AH$，
$\therefore \angle 5=\angle 2$，
$\therefore \angle 4=\angle 3=2\angle 2=2\angle 5$，
$\therefore \angle 4=\angle 5+\angle 6$，
$\therefore \angle 5=\angle 6$，
$\therefore \angle 6=\angle 2$，
连结$EH$，
$\because AE=EB=EC$，$H$是$AC$的中点，
$\therefore EH\bot AC$，
$\therefore tan∠EAH=tan∠2=\frac{EH}{AH}=\frac{1}{3}$，
$\therefore EH^{2}+AH^{2}=EH^{2}+\left(3EH\right)^{2}=AE^{2}=10^{2}$，
$\therefore EH=\sqrt{10}$，$AH=3\sqrt{10}=DH$，
$\therefore tan∠6=tan∠2=\frac{GD}{GH}=\frac{1}{3}$，
$\therefore GD^{2}+GH^{2}=GD^{2}+\left(3GD\right)^{2}=HD^{2}=90$，
$\therefore GD=3$，
$\therefore GH=9$.