（1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+1=4}\\{4a+2b+1=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
$\therefore$二次函数的表达式是$y=x^{2}-2x+1$；
$(2)\because y=x^{2}-2x+1=\left(x-1\right)^{2}$，
$\therefore$抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，
$\therefore$当$x \lt 1$时，$y$随$x$的增大而减小；
$(3)\because x=0$和$x=2$时的函数值都是$1$，
$\therefore$抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=1$，
$\therefore \left(1,n\right)$是顶点，$\left(-1,m\right)$和$\left(3,p\right)$关于对称轴对称，
若在$m$，$n$，$p$这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且$m\leqslant 0$，
$\because -\frac{b}{2a}=1$，
$\therefore b=-2a$，
$\therefore$二次函数为$y=ax^{2}-2ax+1$，
$\therefore m=a+2a+1\leqslant 0$，
$\therefore a\leqslant -\frac{1}{3}$.

（1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+1=4}\\{4a+2b+1=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
$\therefore$二次函数的表达式是$y=x^{2}-2x+1$；
$(2)\because y=x^{2}-2x+1=\left(x-1\right)^{2}$，
$\therefore$抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，
$\therefore$当$x \lt 1$时，$y$随$x$的增大而减小；
$(3)\because x=0$和$x=2$时的函数值都是$1$，
$\therefore$抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=1$，
$\therefore \left(1,n\right)$是顶点，$\left(-1,m\right)$和$\left(3,p\right)$关于对称轴对称，
若在$m$，$n$，$p$这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且$m\leqslant 0$，
$\because -\frac{b}{2a}=1$，
$\therefore b=-2a$，
$\therefore$二次函数为$y=ax^{2}-2ax+1$，
$\therefore m=a+2a+1\leqslant 0$，
$\therefore a\leqslant -\frac{1}{3}$.