如图,已知抛物线$y=-\frac{2}{3}x^{2}-\frac{4}{3}x+2$与$x$轴交于点$A$,$B($点$A$在点$B$的左侧),与$y$轴交于点$C$,过点$B$作直线$BD$∥$AC$交抛物线于点$D$.
$(1)$求点$D$的坐标；
$(2)$点$P$是直线$AC$上方的抛物线上一点,连接$DP$,交$AC$于点$E$,连接$BE$,$BP$,求$\triangle BPE$面积的最大值及此时点$P$的坐标；
$(3)$将抛物线沿射线$CA$方向平移$\frac{{\sqrt{13}}}{3}$单位得到新的抛物线${y\’}$,点$M$是新抛物线${y\’}$对称轴上一点,点$N$为平面直角坐标系内一点,直接写出所有以$A$,$C$,$M$,$N$为顶点的四边形为矩形的点$N$的坐标,并写出其中一个点$N$的坐标的求解过程.