【项目式学习】在圆柱表面,蚂蚁怎么爬行路径最短?$(\pi$取$3)$
素材$1$:如图$1$,圆柱体的高$AC$为$12cm$,底面直径$BC$为$6cm$,在圆柱下底圆周上的$A$点有一只蚂蚁,它想吃到上底面圆周上与$A$点对应的$B$点处的食物.若蚂蚁沿图$1$中的折线$A\rightarrow C\rightarrow B$爬行的最短路径记为"路线一",此时最短路程是$12+6=18cm$.将圆柱沿着$AC$将侧面展开得到图$2$,请在图$2$中画出蚂蚁爬行的最短路径记为"路线二",此时最短路程是______$cm;$比较可知:蚂蚁聪行的最短路径是路线______$(用"一"或"二"填空)$,

素材$2$:如图$3$所示的实践活动器材包括:底面直径为$6cm$,高为$10cm$的圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺,通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的.
$(1)$两种路线路程的长度如表所示（单位:$cm)$；

圆柱高度	沿路线一路程$x$	沿路线二路程$y$	比较$x$与$y$的大小
$5$	$11$	$\sqrt{106}$	$x \gt y$
$4$	$10$	$\sqrt{97}$	$x \gt y$
$3$	$a$	$3\sqrt{10}$	$b$

$(2)$填空:表格中$a$的值是______；表格中$b$表示的大小关系是______；
$(3)$经历上述探究后,请你思考:若圆柱的半径为$r$,圆柱的高为$h$.在$r$不变的情况下,当圆柱半径为$r$与圆柱的高度$h$存在怎样的数量关系时,蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等?