$(1)$如图$1$,学习了等腰三角形,我们知道:在一个三角形中,等边所对的角相等；反过来,等角所对的边也相等.如果在一个三角形中,两个角不等,那么它们所对的边有什么大小关系呢?猜想:在$\triangle ABC$中,如果$AB \gt AC$,则$\angle C \_\_\_\_\_\_\angle B($填写"$\gt$""$\lt$"或"$=$"）,请证明你的猜想；
$(2)$如图$2$,在$\triangle ABC$中$\left(AB \gt BC\right)$,$BP$平分$\angle ABC$交$AC$于点$D$,连接$AP$,$CP$.判断$AB-BC$与$PC-PA$的大小关系,并证明；
$(3)$如图$3$,在$\triangle ABC$中,$\angle A=60^{\circ}$,$\triangle ABC$的角平分线$BF$,$CE$交于点$D$,若$\frac{DE}{CD}=\frac{5}{7}$,则$\frac{BD}{CD}=\_\_\_\_\_\_.$