（1）对于方程$\frac{x-1}{x}-\frac{5x}{x-1}=4$，若设$\frac{x-1}{x}=y$，则原方程可化为$y-\frac{5}{y}=4$，
方程两边同时乘$y$，得$y^{2}-4y-5=0$，
解得$y=-1$或$y=5$.
经检验，$y=-1$，$y=5$都是方程$y-\frac{5}{y}=4$的解.
当$y=-1$时，$\frac{x-1}{x}=-1$，解得$x=\frac{1}{2}$；
当$y=5$时，$\frac{x-1}{x}=5$，解得$x=-\frac{1}{4}$.
经检验，$x=\frac{1}{2}$，$x=-\frac{1}{4}$都是原分式方程的根，
故原方程的解为$x=\frac{1}{2}$或$x=-\frac{1}{4}$；
$(2)$原方程化为$\frac{x-1}{x+2}-\frac{x+2}{x-1}=0$.
设$y=\frac{x-1}{x+2}$，则原方程化为$y-\frac{1}{y}=0$，
方程两边同时乘$y$，得$y^{2}-1=0$，
解得$y=\pm 1$.
经检验，$y=\pm 1$都是方程$y-\frac{1}{y}=0$的解.
当$y=1$时，$\frac{x-1}{x+2}=1$，该方程无解；
当$y=-1$时，$\frac{x-1}{x+2}=-1$，解得$x=-\frac{1}{2}$.
经检验，$x=-\frac{1}{2}$是原分式方程的解，
$\therefore$原分式方程的解为$x=-\frac{1}{2}$.

（1）对于方程$\frac{x-1}{x}-\frac{5x}{x-1}=4$，若设$\frac{x-1}{x}=y$，则原方程可化为$y-\frac{5}{y}=4$，
方程两边同时乘$y$，得$y^{2}-4y-5=0$，
解得$y=-1$或$y=5$.
经检验，$y=-1$，$y=5$都是方程$y-\frac{5}{y}=4$的解.
当$y=-1$时，$\frac{x-1}{x}=-1$，解得$x=\frac{1}{2}$；
当$y=5$时，$\frac{x-1}{x}=5$，解得$x=-\frac{1}{4}$.
经检验，$x=\frac{1}{2}$，$x=-\frac{1}{4}$都是原分式方程的根，
故原方程的解为$x=\frac{1}{2}$或$x=-\frac{1}{4}$；
$(2)$原方程化为$\frac{x-1}{x+2}-\frac{x+2}{x-1}=0$.
设$y=\frac{x-1}{x+2}$，则原方程化为$y-\frac{1}{y}=0$，
方程两边同时乘$y$，得$y^{2}-1=0$，
解得$y=\pm 1$.
经检验，$y=\pm 1$都是方程$y-\frac{1}{y}=0$的解.
当$y=1$时，$\frac{x-1}{x+2}=1$，该方程无解；
当$y=-1$时，$\frac{x-1}{x+2}=-1$，解得$x=-\frac{1}{2}$.
经检验，$x=-\frac{1}{2}$是原分式方程的解，
$\therefore$原分式方程的解为$x=-\frac{1}{2}$.