阅读下面材料:解方程:$\frac{x-1}{x}-\frac{4x}{x-1}=0$.
解:设$y=\frac{x-1}{x}$,则原方程化为$y-\frac{4}{y}=0$,
方程两边同时乘$y$,得$y^{2}-4=0$,解得$y=\pm 2$.
经检验,$y=\pm 2$都是方程$y-\frac{4}{y}=0$的解.
当$y=2$时,$\frac{x-1}{x}=2$,解得$x=-1$；当$y=-2$时,$\frac{x-1}{x}=-2$,解得$x=\frac{1}{3}$.
经检验,$x=-1$,$x=\frac{1}{3}$都是原分式方程的解,
$\therefore$原分式方程的解为$x=-1$或$x=\frac{1}{3}$.
上述这种解分式方程的方法称为换元法.
解答下面的问题:
$(1)$对于方程$\frac{x-1}{x}-\frac{5x}{x-1}=4$,若$\frac{x-1}{x}=y$,则原方程可化为______,原方程的解为______.
$(2)$模仿上述换元法解方程:$\frac{x-1}{x+2}-\frac{3}{x-1}-1=0$.