如图,在四边形$ABCD$中$,AB$∥$CD,\angle ADC=90^{\circ}$,$AC\bot BC$,$DC=9cm$,$AD=12cm$.点$P$从$A$点出发,沿$AB$向点$B$匀速运动,同时点$Q$从$B$点出发,沿$BC$向点$C$匀速运动,运动速度均为$5cm/s$,当其中一点到达终点时,两点都停止运动.设运动时间为$t\left(s\right)\left(0 \lt t \lt 4\right)$.
$(1)$求线段$AB$的长度；
$(2)t$为何值时,以$B$、$P$、$Q$为顶点的三角形与$\triangle ADC$相似?
$(3)$是否存在某一时刻$t$,使得四边形$DPQC$的面积等于$144cm^{2}$?若存在,求出此时$t$的值；若不存在,说明理由.
$(4)$是否存在某一时刻$t$,使$DP\bot PQ$?若存在,直接写出此时$t$的值；若不存在,说明理由.