如图，过点$A$作$AD\bot BC$，垂足为$D$，连接$OB$、$OC$，

$\because AB=AC$，$AD\bot BC$，
$\therefore AD$垂直平分$BC$，
$\because OB=OC$，
$\therefore$点$O$在$BC$的垂直平分线上，即$O$在$AD$上，
$\because BC=4$，
$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=2$，
在$Rt\triangle ABD$中，$∠ADB=90°，AB=2\sqrt{10}$，
$\therefore AD=\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}=6$，
设$OA=OB=r$，则$OD=6-r$，
在$Rt\triangle OBD$中，$\angle ODB=90^{\circ}$，
$\therefore OD^{2}+BD^{2}=OB^{2}$，即$\left(6-r\right)^{2}+2^{2}=r^{2}$.
解得$r=\frac{10}{3}$，
即$\odot O$的半径为$\frac{10}{3}$.

如图，过点$A$作$AD\bot BC$，垂足为$D$，连接$OB$、$OC$，

$\because AB=AC$，$AD\bot BC$，
$\therefore AD$垂直平分$BC$，
$\because OB=OC$，
$\therefore$点$O$在$BC$的垂直平分线上，即$O$在$AD$上，
$\because BC=4$，
$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=2$，
在$Rt\triangle ABD$中，$∠ADB=90°，AB=2\sqrt{10}$，
$\therefore AD=\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}=6$，
设$OA=OB=r$，则$OD=6-r$，
在$Rt\triangle OBD$中，$\angle ODB=90^{\circ}$，
$\therefore OD^{2}+BD^{2}=OB^{2}$，即$\left(6-r\right)^{2}+2^{2}=r^{2}$.
解得$r=\frac{10}{3}$，
即$\odot O$的半径为$\frac{10}{3}$.