如图,菱形$ABCD$中,$AB=1$,$\angle A=60^{\circ}$,$EFGH$是矩形,矩形的顶点都在菱形的边上.设$AE=AH=x\left(0 \lt x \lt 1\right)$,矩形的面积为$S$.
$(1)$求$S$关于$x$的函数解析式；
$(2)$当$EFGH$是正方形时,求$S$的值.