在平面直角坐标系$xOy$中,若点$P$的横坐标和纵坐标相等,则称点$P$为完美点.已知二次函数$y=ax^{2}+4x+c\left(a\neq 0\right)$.
$(1)$当$a=1$,$c=2$时,请求出该函数的完美点；
$(2)$已知二次函数$y=ax^{2}+4x+c\left(a\neq 0\right)$的图象上有且只有一个完美点$(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$,请求出该函数；
$(3)$在（2）的条件下,当$0\leqslant x\leqslant m$时,函数$y=ax^2+4x+c-\frac{3}{4}(a≠0)$的最小值为$-3$,最大值为$1$,求$m$的取值范围.