如图,$\triangle ABC$中,$BD$平分$\angle ABC$交$AC$于点$D$,且$BD\bot AC$.
$(1)$求证:$AB=CB$；
$(2)$点$F$是射线$BC$上一点,连接$AF$交射线$BD$于点$P$.
$i)$若$\angle ABC=45^{\circ}$,当$AF\bot AB$时,$BF$与$CF$之间有何数量关系?请说明理由；
ⅱ）若$AB=5\sqrt{2}$,$S_{\triangle ABC}=15$,当$\angle FAC=\angle FBP$时,求线段$BP$的长.