$(1)$证明：$\because AB$∥$CD,\angle BAD=90^{\circ}$，以$AD$为直径的半圆$O$与$BC$相切，
$\therefore AB$，$BC$，$CD$均与半圆$O$相切，
$\therefore \angle ABO=\angle CBO$，$\angle DCO=\angle BCO$.
又$\because AB$∥$CD$，
$\therefore \angle ABC+\angle BCD=180^{\circ}$，
即$\angle ABO+\angle CBO+\angle BCO+\angle DCO=180^{\circ}$.
$\therefore 2\angle CBO+2\angle BCO=180^{\circ}$，
于是$\angle CBO+\angle BCO=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BOC=180^{\circ}-\left(\angle CBO+\angle BCO\right)=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$，
即$OB\bot OC$.

$(2)$设$CD$切$\odot O_{1}$于点$M$，连接$O_{1}M$，则$O_{1}M\bot CD$.
设$\odot O_{1}$的半径为$r$.
$\because \angle BCD=60^{\circ}$，且由（1）知$\angle BCO=\angle O_{1}CM$，
$\therefore \angle O_{1}CM=30^{\circ}$.
在$Rt\triangle O_{1}CM$中，$CO_{1}=2r$，$O_{1}M=r$.
在$Rt\triangle OCD$中，$OC=2OD=AD=12$.
$\because \odot O_{1}$与半圆$O$外切，
$\therefore OO_{1}=6+r$，于是，
由$OO_{1}+O_{1}C=OC$，即$6+r+2r=12$，
解得$r=2$，
因此$\odot O_{1}$的面积为$4\pi$.

$(1)$证明：$\because AB$∥$CD,\angle BAD=90^{\circ}$，以$AD$为直径的半圆$O$与$BC$相切，
$\therefore AB$，$BC$，$CD$均与半圆$O$相切，
$\therefore \angle ABO=\angle CBO$，$\angle DCO=\angle BCO$.
又$\because AB$∥$CD$，
$\therefore \angle ABC+\angle BCD=180^{\circ}$，
即$\angle ABO+\angle CBO+\angle BCO+\angle DCO=180^{\circ}$.
$\therefore 2\angle CBO+2\angle BCO=180^{\circ}$，
于是$\angle CBO+\angle BCO=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BOC=180^{\circ}-\left(\angle CBO+\angle BCO\right)=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$，
即$OB\bot OC$.

$(2)$设$CD$切$\odot O_{1}$于点$M$，连接$O_{1}M$，则$O_{1}M\bot CD$.
设$\odot O_{1}$的半径为$r$.
$\because \angle BCD=60^{\circ}$，且由（1）知$\angle BCO=\angle O_{1}CM$，
$\therefore \angle O_{1}CM=30^{\circ}$.
在$Rt\triangle O_{1}CM$中，$CO_{1}=2r$，$O_{1}M=r$.
在$Rt\triangle OCD$中，$OC=2OD=AD=12$.
$\because \odot O_{1}$与半圆$O$外切，
$\therefore OO_{1}=6+r$，于是，
由$OO_{1}+O_{1}C=OC$，即$6+r+2r=12$，
解得$r=2$，
因此$\odot O_{1}$的面积为$4\pi$.