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九年级数学填空题一般
题目
如图,已知等边三角形ABCABC的边长是66,⊙O\odot O是它的内切圆,则图中阴影部分的面积是______.
知识点：等边三角形的性质、相切两圆的性质章节：第27章 圆与正多边形 / 第2节 直线与圆、圆与圆的位置关系 / 27.5 圆与圆的位置关系

答案与解析

答案

记ABAB与圆OO的切点为DD，连接ODOD.

∵AB\because AB与圆OO相切，
∴OD⊥AB\therefore OD\bot AB.
∴∠ADO=90∘\therefore \angle ADO=90^{\circ}.
∵△ABC\because \triangle ABC为等边三角形，⊙O\odot O是它的内切圆，
∴∠DAO=12∠BAC=30∘\therefore \angle DAO=\frac{1}{2}\angle BAC=30^{\circ}，AO=OBAO=OB.
∵AO=OB\because AO=OB，OD⊥ABOD\bot AB，
∴AD=BD=3\therefore AD=BD=3.
在Rt△ADORt\triangle ADO中，DO=33AD=3DO=\frac{\sqrt{3}}{3}AD=\sqrt{3}.
∴S△ABO=12×6×3=33\therefore S_{\triangle ABO}=\frac{1}{2}\times 6\times \sqrt{3}=3\sqrt{3}，S扇形EOF=13πr2=13π×3=πS_{扇形EOF}=\frac{1}{3}\pi r^{2}=\frac{1}{3}\pi \times 3=\pi.
∴\therefore阴影部分的面积=33−π=3\sqrt{3}-\pi.
故答案为：33−π3\sqrt{3}-\pi.

解析

记ABAB与圆OO的切点为DD，连接ODOD.

∵AB\because AB与圆OO相切，
∴OD⊥AB\therefore OD\bot AB.
∴∠ADO=90∘\therefore \angle ADO=90^{\circ}.
∵△ABC\because \triangle ABC为等边三角形，⊙O\odot O是它的内切圆，
∴∠DAO=12∠BAC=30∘\therefore \angle DAO=\frac{1}{2}\angle BAC=30^{\circ}，AO=OBAO=OB.
∵AO=OB\because AO=OB，OD⊥ABOD\bot AB，
∴AD=BD=3\therefore AD=BD=3.
在Rt△ADORt\triangle ADO中，DO=33AD=3DO=\frac{\sqrt{3}}{3}AD=\sqrt{3}.
∴S△ABO=12×6×3=33\therefore S_{\triangle ABO}=\frac{1}{2}\times 6\times \sqrt{3}=3\sqrt{3}，S扇形EOF=13πr2=13π×3=πS_{扇形EOF}=\frac{1}{3}\pi r^{2}=\frac{1}{3}\pi \times 3=\pi.
∴\therefore阴影部分的面积=33−π=3\sqrt{3}-\pi.
故答案为：33−π3\sqrt{3}-\pi.

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