C

连接$AP$，
$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AB=AD=3$，$\angle ADB=45^{\circ}$，
$\because PF\bot AD$，$PE\bot AB$，$\angle BAD=90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$AEPF$是矩形，
$\therefore PE=AF$，$\angle PFD=90^{\circ}$，
$\therefore \triangle PFD$是等腰直角三角形，
$\therefore PF=DF$，
$\because PE:PF=1:2$，
$\therefore AF:DF=1:2$，
$\therefore AF=1$，$DF=2=PF$，
$\therefore AP=\sqrt{AF^{2}+PF^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$，
$\because AB=BC$，$\angle ABD=\angle CBD=45^{\circ}$，$BP=BP$，
$\therefore \triangle ABP$≌$\triangle CBP\left(SAS\right)$，
$\therefore AP=PC=\sqrt{5}$，
故选：$C$.