连接并延长$AO$交$BC$于点$D$，连接$OB$、$OC$，
$\because$边长为$6$的正三角形$ABC$内接于$\odot O$，
$\therefore AB=AC=BC=6$，$\angle AOB=\angle AOC=\angle BOC=\frac{1}{3}\times 360^{\circ}=120^{\circ}$，$OB=OC=OA$，
在$\triangle AOB$和$\triangle AOC$中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OA}\\{∠AOB=∠AOC}\\{OB=OC}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle AOB$≌$\triangle AOC\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle BAO=\angle CAO$，
$\therefore AD\bot BC$，
$\therefore \angle ODB=90^{\circ}$，$BD=CD=\frac{1}{2}BC=3$，
$\because \angle OBD=\angle OCD=\frac{1}{2}\times \left(180^{\circ}-\angle BOC\right)=\frac{1}{2}\times \left(180^{\circ}-120^{\circ}\right)=30^{\circ}$，
$\therefore \frac{OD}{BD}=\tan \angle OBD=\tan 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore OD=\frac{\sqrt{3}}{3}BD=\frac{\sqrt{3}}{3}\times 3=\sqrt{3}$，
$\therefore OB=OA=2OD=2\times \sqrt{3}=2\sqrt{3}$，
$\therefore AD=OA+OD=2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}$，
$\therefore S_{阴影}=S_{\odot O}-S_{\triangle ABC}=\pi \times (2\sqrt{3})^{2}-\frac{1}{2}\times 6\times 3\sqrt{3}=12\pi -9\sqrt{3}$，
故答案为：$12\pi -9\sqrt{3}$.

连接并延长$AO$交$BC$于点$D$，连接$OB$、$OC$，
$\because$边长为$6$的正三角形$ABC$内接于$\odot O$，
$\therefore AB=AC=BC=6$，$\angle AOB=\angle AOC=\angle BOC=\frac{1}{3}\times 360^{\circ}=120^{\circ}$，$OB=OC=OA$，
在$\triangle AOB$和$\triangle AOC$中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OA}\\{∠AOB=∠AOC}\\{OB=OC}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle AOB$≌$\triangle AOC\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle BAO=\angle CAO$，
$\therefore AD\bot BC$，
$\therefore \angle ODB=90^{\circ}$，$BD=CD=\frac{1}{2}BC=3$，
$\because \angle OBD=\angle OCD=\frac{1}{2}\times \left(180^{\circ}-\angle BOC\right)=\frac{1}{2}\times \left(180^{\circ}-120^{\circ}\right)=30^{\circ}$，
$\therefore \frac{OD}{BD}=\tan \angle OBD=\tan 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore OD=\frac{\sqrt{3}}{3}BD=\frac{\sqrt{3}}{3}\times 3=\sqrt{3}$，
$\therefore OB=OA=2OD=2\times \sqrt{3}=2\sqrt{3}$，
$\therefore AD=OA+OD=2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}$，
$\therefore S_{阴影}=S_{\odot O}-S_{\triangle ABC}=\pi \times (2\sqrt{3})^{2}-\frac{1}{2}\times 6\times 3\sqrt{3}=12\pi -9\sqrt{3}$，
故答案为：$12\pi -9\sqrt{3}$.