如图$1$，以$AD$为边在$AD$左侧作等边三角形$AGD$，连接$FG$，$EG$，延长$AF$，$CB$交于点$P$，

$\because \triangle AGD$和$\triangle DEF$是等边三角形，
$\therefore DE=DF$，$DG=AD$，$\angle ADG=\angle FDE=60^{\circ}$，
$\therefore \angle ADG+\angle GDF=\angle FDE+\angle GDF$，即$\angle ADF=\angle GDE$，
$\therefore \triangle AFD$≌$\triangle GED\left(SAS\right)$，
$\therefore AF=EG$；
方法一：如图$2$，当点$A$，$G$，$F$三点共线时，$AF$有最小值，

此时，$\angle EGD=\angle GAC=60^{\circ}$，
$\therefore \angle AGE+\angle GAC=\angle AGD+\angle EGD+\angle GAC=180^{\circ}$，
$\therefore AC$∥$EG$，即$EG\bot BC$，
$\therefore \angle APC=30^{\circ}$，
$\because AC=BC=8$，$AD=2$，
$\therefore AP=2AC=16$，$AG=AD=2$，
$\therefore PG=AP-AG=14$，
$\therefore EG=\frac{1}{2}PG=7$，
$\therefore AF=EG=7$，
方法二：过点$G$作$GH\bot AC$，得矩形$GHCE$，
$\therefore GE=CH$，
$\because \triangle AGD$是等边三角形，
$\therefore AH=DH=1$，
$\therefore AF=EG=CH=AC-AH=8-1=7$，
故答案为：$7$.

如图$1$，以$AD$为边在$AD$左侧作等边三角形$AGD$，连接$FG$，$EG$，延长$AF$，$CB$交于点$P$，

$\because \triangle AGD$和$\triangle DEF$是等边三角形，
$\therefore DE=DF$，$DG=AD$，$\angle ADG=\angle FDE=60^{\circ}$，
$\therefore \angle ADG+\angle GDF=\angle FDE+\angle GDF$，即$\angle ADF=\angle GDE$，
$\therefore \triangle AFD$≌$\triangle GED\left(SAS\right)$，
$\therefore AF=EG$；
方法一：如图$2$，当点$A$，$G$，$F$三点共线时，$AF$有最小值，

此时，$\angle EGD=\angle GAC=60^{\circ}$，
$\therefore \angle AGE+\angle GAC=\angle AGD+\angle EGD+\angle GAC=180^{\circ}$，
$\therefore AC$∥$EG$，即$EG\bot BC$，
$\therefore \angle APC=30^{\circ}$，
$\because AC=BC=8$，$AD=2$，
$\therefore AP=2AC=16$，$AG=AD=2$，
$\therefore PG=AP-AG=14$，
$\therefore EG=\frac{1}{2}PG=7$，
$\therefore AF=EG=7$，
方法二：过点$G$作$GH\bot AC$，得矩形$GHCE$，
$\therefore GE=CH$，
$\because \triangle AGD$是等边三角形，
$\therefore AH=DH=1$，
$\therefore AF=EG=CH=AC-AH=8-1=7$，
故答案为：$7$.