$(1)$证明：$\because$四边形$ABCD$为矩形，
$\therefore AD$∥$BC,AD=BC,\angle BAD=\angle ADC=90^{\circ}$，
$\therefore \triangle AEF$∽$\triangle CBF$，
$\therefore \frac{AE}{BC}=\frac{FA}{FC}$，
$\because$点$E$为$AD$的中点，
$\therefore AE=ED$，
$\therefore \frac{AE}{AD}=\frac{1}{2}$，
即：$\frac{AE}{BC}=\frac{1}{2}$，
$\therefore \frac{FA}{FC}=\frac{1}{2}$，
$\therefore FC=2FA$.
$(2)$过点$D$作$DH\bot AC$于点$H$，

$\because BE\bot AC$，
$\therefore BE$∥$DH$，
又点$E$为$AD$的中点，
$\therefore EF$为$\triangle ADH$的中位线，
$\therefore DH=2EF=2$，$FA=FH$，
由（1）知：$FC=2FA$，
$\therefore CH+FH=2FA$，
$\therefore CH=FH=FA$，
$\therefore AC=3FA$，
设$AE=a$，$AB=b$，$FA=x$，
则$AD=2a$，$CD=b$，$CH=FH=FA=x$，$AC=3x$，
$\because \angle BAD=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BAF+\angle DAC=90^{\circ}$，
又$BE\bot AC$，
$\therefore \angle ABE+\angle BAF=90^{\circ}$，
$\therefore \angle ABE=\angle DAC$，
又$\angle BAD=\angle ADC=90^{\circ}$，
$\therefore \triangle BAE$∽$\triangle ADC$，
$\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{AE}{CD}$，
即：$\frac{b}{2a}=\frac{a}{b}$，
$\therefore b^{2}=2a^{2}$，
在$Rt\triangle ADH$中，$AD=2a$，$AH=2x$，$DH=2$，
由勾股定理得：$AD^{2}=AH^{2}+DH^{2}$，
即：$\left(2a\right)^{2}=\left(2x\right)^{2}+4$，
$\therefore a^{2}=x^{2}+1$，
在$Rt\triangle CDH$中，$DH=2$，$DC=b$，$CH=x$，
由勾股定理得：$CD^{2}=DH^{2}+CH^{2}$，
即：$b^{2}=x^{2}+4$
$\therefore x^{2}+4=2(x^{2}+1)$，
解得：$x=\sqrt{2}($舍去负值），
$\therefore AC=3x=3\sqrt{2}$.
故答案为：$3\sqrt{2}$；
$(3)$证明：由（2）知：$CH=HF$，$DH\bot CF$，
$\therefore DH$为线段$FH$的垂直平分线，
$\therefore DF=DC$，

$(1)$证明：$\because$四边形$ABCD$为矩形，
$\therefore AD$∥$BC,AD=BC,\angle BAD=\angle ADC=90^{\circ}$，
$\therefore \triangle AEF$∽$\triangle CBF$，
$\therefore \frac{AE}{BC}=\frac{FA}{FC}$，
$\because$点$E$为$AD$的中点，
$\therefore AE=ED$，
$\therefore \frac{AE}{AD}=\frac{1}{2}$，
即：$\frac{AE}{BC}=\frac{1}{2}$，
$\therefore \frac{FA}{FC}=\frac{1}{2}$，
$\therefore FC=2FA$.
$(2)$过点$D$作$DH\bot AC$于点$H$，

$\because BE\bot AC$，
$\therefore BE$∥$DH$，
又点$E$为$AD$的中点，
$\therefore EF$为$\triangle ADH$的中位线，
$\therefore DH=2EF=2$，$FA=FH$，
由（1）知：$FC=2FA$，
$\therefore CH+FH=2FA$，
$\therefore CH=FH=FA$，
$\therefore AC=3FA$，
设$AE=a$，$AB=b$，$FA=x$，
则$AD=2a$，$CD=b$，$CH=FH=FA=x$，$AC=3x$，
$\because \angle BAD=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BAF+\angle DAC=90^{\circ}$，
又$BE\bot AC$，
$\therefore \angle ABE+\angle BAF=90^{\circ}$，
$\therefore \angle ABE=\angle DAC$，
又$\angle BAD=\angle ADC=90^{\circ}$，
$\therefore \triangle BAE$∽$\triangle ADC$，
$\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{AE}{CD}$，
即：$\frac{b}{2a}=\frac{a}{b}$，
$\therefore b^{2}=2a^{2}$，
在$Rt\triangle ADH$中，$AD=2a$，$AH=2x$，$DH=2$，
由勾股定理得：$AD^{2}=AH^{2}+DH^{2}$，
即：$\left(2a\right)^{2}=\left(2x\right)^{2}+4$，
$\therefore a^{2}=x^{2}+1$，
在$Rt\triangle CDH$中，$DH=2$，$DC=b$，$CH=x$，
由勾股定理得：$CD^{2}=DH^{2}+CH^{2}$，
即：$b^{2}=x^{2}+4$
$\therefore x^{2}+4=2(x^{2}+1)$，
解得：$x=\sqrt{2}($舍去负值），
$\therefore AC=3x=3\sqrt{2}$.
故答案为：$3\sqrt{2}$；
$(3)$证明：由（2）知：$CH=HF$，$DH\bot CF$，
$\therefore DH$为线段$FH$的垂直平分线，
$\therefore DF=DC$，