（1）四边形$OCDE$是菱形，理由如下：
$\because CD$∥$OE$，
$\therefore \angle FDC=\angle FOE$，
$\because CE$是线段$OD$的垂直平分线，
$\therefore FD=FO$，$ED=OE$，$CD=CO$，
在$\triangle FDC$和$\triangle FOE$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FDC=∠FOE}\\{FD=FO}\\{∠DFC=∠CFE}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle FDC$≌$\triangle FOE\left(ASA\right)$，
$\therefore CD=OE$，
又$ED=OE$，$CD=CO$，
$\therefore ED=OE=CD=CO$，
$\therefore$四边形$OCDE$是菱形.
$(2)\because$四边形$ABCD$为矩形，
$\therefore \angle BCD=\angle CDA=90^{\circ}$，$DO=CO$，
$\because CE$是线段$OD$的垂直平分线，
$\therefore CD=CO$，
$\therefore CD=CO=DO$，
$\therefore \triangle ODC$为等边三角形，
$\therefore DO=CD=4$，$\angle ODC=60^{\circ}$，
$\therefore DF=\frac{1}{2}DO=2$，
在$Rt\triangle CDF$中，$CD=4$，$DF=2$，
由勾股定理得：$CF=\sqrt{C{D}^{2}-D{F}^{2}}=2\sqrt{3}$，
由（1）可知：四边形$OCDE$是菱形，
$\therefore EF=CF=2\sqrt{3}$，
$\because \angle GDF=\angle CDA-\angle ODC=30^{\circ}$，
$\therefore tan∠GDF=\frac{GF}{DF}$，
$\therefore GF=DF•tan∠GDF=2tan30°=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore EG=EF-GF=2\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

（1）四边形$OCDE$是菱形，理由如下：
$\because CD$∥$OE$，
$\therefore \angle FDC=\angle FOE$，
$\because CE$是线段$OD$的垂直平分线，
$\therefore FD=FO$，$ED=OE$，$CD=CO$，
在$\triangle FDC$和$\triangle FOE$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FDC=∠FOE}\\{FD=FO}\\{∠DFC=∠CFE}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle FDC$≌$\triangle FOE\left(ASA\right)$，
$\therefore CD=OE$，
又$ED=OE$，$CD=CO$，
$\therefore ED=OE=CD=CO$，
$\therefore$四边形$OCDE$是菱形.
$(2)\because$四边形$ABCD$为矩形，
$\therefore \angle BCD=\angle CDA=90^{\circ}$，$DO=CO$，
$\because CE$是线段$OD$的垂直平分线，
$\therefore CD=CO$，
$\therefore CD=CO=DO$，
$\therefore \triangle ODC$为等边三角形，
$\therefore DO=CD=4$，$\angle ODC=60^{\circ}$，
$\therefore DF=\frac{1}{2}DO=2$，
在$Rt\triangle CDF$中，$CD=4$，$DF=2$，
由勾股定理得：$CF=\sqrt{C{D}^{2}-D{F}^{2}}=2\sqrt{3}$，
由（1）可知：四边形$OCDE$是菱形，
$\therefore EF=CF=2\sqrt{3}$，
$\because \angle GDF=\angle CDA-\angle ODC=30^{\circ}$，
$\therefore tan∠GDF=\frac{GF}{DF}$，
$\therefore GF=DF•tan∠GDF=2tan30°=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore EG=EF-GF=2\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$.