$\because \overline{abcd}$是一个“友谊数”，
$\therefore a+d=b+c=9$，
又$\because b-a=c-b=1$，
$\therefore b=4$，$c=5$，$\therefore a=3$，$d=6$，
$\therefore$这个数为$3456$；
$\because M=\overline{abcd}$是一个“友谊数”，
$\therefore M=1000a+100b+10c+d=1000a+100b+10\left(9-b\right)+9-a=999a+90b+99$，
$\therefore F(M)=\frac{M}{9}=111a+10b+11$，
$\therefore \frac{F(M)+\overline{ab}+\overline{cd}}{13}=\frac{111a+10b+11+10a+b+10c+d}{13}=\frac{111a+10b+11+10a+b+10(9-b)+9-a}{13}=\frac{120a+b+110}{13}=9a+8+\frac{3a+b+6}{13}$，
$\because \frac{F(M)+\overrightarrow{ab}+\overrightarrow{cd}}{13}$是整数，
$\therefore 9a+8+\frac{3a+b+6}{13}$是整数，即$\frac{3a+b+6}{13}$是整数，
$\therefore 3a+b+6$是$13$的倍数，
$\because a$、$b$、$c$、$d$都是不为$0$的正整数，且$a+d=b+c=9$，
$\therefore a\leqslant 8$，
$\therefore$当$a=8$时，$31\leqslant 3a+b+6\leqslant 38$，此时不满足$3a+b+6$是$13$的倍数，不符合题意；
当$a=7$时，$28\leqslant 3a+b+6\leqslant 35$，此时不满足$3a+b+6$是$13$的倍数，不符合题意；
当$a=6$时，$25\leqslant 3a+b+6\leqslant 32$，此时可以满足$3a+b+6$是$13$的倍数，即此时$b=2$，则此时$d=3$，$c=7$，
$\because$要使$M$最大，则一定要满足$a$最大，
$\therefore$满足题意的$M$的最大值即为$6273$；
故答案为：$3456$；$6273$.

$\because \overline{abcd}$是一个“友谊数”，
$\therefore a+d=b+c=9$，
又$\because b-a=c-b=1$，
$\therefore b=4$，$c=5$，$\therefore a=3$，$d=6$，
$\therefore$这个数为$3456$；
$\because M=\overline{abcd}$是一个“友谊数”，
$\therefore M=1000a+100b+10c+d=1000a+100b+10\left(9-b\right)+9-a=999a+90b+99$，
$\therefore F(M)=\frac{M}{9}=111a+10b+11$，
$\therefore \frac{F(M)+\overline{ab}+\overline{cd}}{13}=\frac{111a+10b+11+10a+b+10c+d}{13}=\frac{111a+10b+11+10a+b+10(9-b)+9-a}{13}=\frac{120a+b+110}{13}=9a+8+\frac{3a+b+6}{13}$，
$\because \frac{F(M)+\overrightarrow{ab}+\overrightarrow{cd}}{13}$是整数，
$\therefore 9a+8+\frac{3a+b+6}{13}$是整数，即$\frac{3a+b+6}{13}$是整数，
$\therefore 3a+b+6$是$13$的倍数，
$\because a$、$b$、$c$、$d$都是不为$0$的正整数，且$a+d=b+c=9$，
$\therefore a\leqslant 8$，
$\therefore$当$a=8$时，$31\leqslant 3a+b+6\leqslant 38$，此时不满足$3a+b+6$是$13$的倍数，不符合题意；
当$a=7$时，$28\leqslant 3a+b+6\leqslant 35$，此时不满足$3a+b+6$是$13$的倍数，不符合题意；
当$a=6$时，$25\leqslant 3a+b+6\leqslant 32$，此时可以满足$3a+b+6$是$13$的倍数，即此时$b=2$，则此时$d=3$，$c=7$，
$\because$要使$M$最大，则一定要满足$a$最大，
$\therefore$满足题意的$M$的最大值即为$6273$；
故答案为：$3456$；$6273$.