我们定义:一个整数能表示成$a^{2}+b^{2}(a$、$b$是整数）的形式,则称这个数为"完美数".例如,$5$是"完美数".理由:因为$5=2^{2}+1^{2}$,所以$5$是"完美数".
$[$解决问题$]$
$(1)$已知$29$是"完美数",请将它写成$a^{2}+b^{2}(a$、$b$是整数）的形式______；若$x^{2}-6x+5$可配方成$\left(x-m\right)^{2}+n(m$、$n$为常数）,则$mn=$______；
$[$探究问题$]$
$(2)$已知$x^{2}+y^{2}-2x+4y+5=0$,则$x+y=$______；已知$S=x^{2}+4y^{2}+4x-12y+k(x$、$y$是整数,$k$是常数）,要使$S$为"完美数",试求出符合条件的一个$k$值,并说明理由.
$[$拓展结论$]$
$(3)$已知实数$x$、$y$满足$-{x}^{2}+\frac{5}{2}x+y-5=0$,求$x-2y$的最值.