证明：$\because$四边形$ABCD$是矩形，$F$是$AB$延长线上一点，
$\therefore \angle A=\angle ABC=\angle FBC=\angle BCD=\angle D=90^{\circ}$，$BC=AD$，$AB=CD$，
$\because \angle BCD$的角平分线交$AD$于点$E$，
$\therefore \angle DCE=\angle BCE=\frac{1}{2}\angle BCD=45^{\circ}$，
$\therefore \angle DEC=\angle DCE=45^{\circ}$，
$\therefore ED=CD$，
$\therefore AB=ED$，
$\because BF=AE$，
$\therefore AF=AB+BF=AE+ED=AD=BC$，
在$\triangle EAF$和$\triangle FBC$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=BC}\\{∠A=∠FBC}\\{AE=BF}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle EAF$≌$\triangle FBC\left(SAS\right)$，
$\therefore EF=CF$.

证明：$\because$四边形$ABCD$是矩形，$F$是$AB$延长线上一点，
$\therefore \angle A=\angle ABC=\angle FBC=\angle BCD=\angle D=90^{\circ}$，$BC=AD$，$AB=CD$，
$\because \angle BCD$的角平分线交$AD$于点$E$，
$\therefore \angle DCE=\angle BCE=\frac{1}{2}\angle BCD=45^{\circ}$，
$\therefore \angle DEC=\angle DCE=45^{\circ}$，
$\therefore ED=CD$，
$\therefore AB=ED$，
$\because BF=AE$，
$\therefore AF=AB+BF=AE+ED=AD=BC$，
在$\triangle EAF$和$\triangle FBC$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=BC}\\{∠A=∠FBC}\\{AE=BF}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle EAF$≌$\triangle FBC\left(SAS\right)$，
$\therefore EF=CF$.