$\frac{mx-1}{x-3}+\frac{1}{3-x}=1$，
去分母，得$mx-1-1=x-3$，
$(m-1)x=-1$.
$\because$关于$x$的分式方程无解，
当$m-1=0$时，原方程无解，
$\therefore m=1$；
$\because$最简公分母$x-3=0$，
$\therefore x=3$，
当$x=3$时，得$m=\frac{2}{3}$.
综上：$m$的值为$1$或$\frac{2}{3}$.

$\frac{mx-1}{x-3}+\frac{1}{3-x}=1$，
去分母，得$mx-1-1=x-3$，
$(m-1)x=-1$.
$\because$关于$x$的分式方程无解，
当$m-1=0$时，原方程无解，
$\therefore m=1$；
$\because$最简公分母$x-3=0$，
$\therefore x=3$，
当$x=3$时，得$m=\frac{2}{3}$.
综上：$m$的值为$1$或$\frac{2}{3}$.