A

作$AR\bot BC$于点$R$，$AS\bot CD$于点$S$，连接$AC$、$BD$交于点$O$.
由题意知：$AD$∥$BC,AB$∥$CD$，
$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\because$两个矩形等宽，
$\therefore AR=AS$，
$\because AR\cdot BC=AS\cdot CD$，
$\therefore BC=CD$，
$\therefore$平行四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AC\bot BD$，
在$Rt\triangle AOB$中，$\because OA=3cm$，$OB=4cm$，
$\therefore AB=\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}=5\left(cm\right)$，
故选：$A$.