$\because AB=AC$，
$\therefore \angle ABC=\angle ACB$，
$\because BF$∥$AC$，
$\therefore \angle ACB=\angle CBF$，
$\therefore \angle ABC=\angle CBF$，
$\therefore BC$平分$\angle ABF$，
过点$C$作$CM\bot AB$，$CN\bot BF$，

则：$CM=CN$，
$\because S_{△ACE}=\frac{1}{2}AE•CM$，$S_{△CBF}=\frac{1}{2}BF•CN$，且$BF=AE$，
$\therefore S_{\triangle CBF}=S_{\triangle ACE}$，
$\therefore$四边形$EBFC$的面积$=S_{\triangle CBF}+S_{\triangle CBE}=S_{\triangle ACE}+S_{\triangle CBE}=S_{\triangle CBA}$，
$\because AC=13$，
$\therefore AB=13$，
设$AM=x$，则$BM=13-x$，
由勾股定理，得：$CM^{2}=AC^{2}-AM^{2}=BC^{2}-BM^{2}$，
$\therefore 13^{2}-x^{2}=10^{2}-\left(13-x\right)^{2}$，
解得：$x=\frac{119}{13}$，
$\therefore CM=\sqrt{13^2-(\frac{119}{13})^2}=\frac{120}{13}$，
$\therefore S_{△CBA}=\frac{1}{2}AB•CM=60$，
$\therefore$四边形$EBFC$的面积为$60$，
故答案为：$60$.

$\because AB=AC$，
$\therefore \angle ABC=\angle ACB$，
$\because BF$∥$AC$，
$\therefore \angle ACB=\angle CBF$，
$\therefore \angle ABC=\angle CBF$，
$\therefore BC$平分$\angle ABF$，
过点$C$作$CM\bot AB$，$CN\bot BF$，

则：$CM=CN$，
$\because S_{△ACE}=\frac{1}{2}AE•CM$，$S_{△CBF}=\frac{1}{2}BF•CN$，且$BF=AE$，
$\therefore S_{\triangle CBF}=S_{\triangle ACE}$，
$\therefore$四边形$EBFC$的面积$=S_{\triangle CBF}+S_{\triangle CBE}=S_{\triangle ACE}+S_{\triangle CBE}=S_{\triangle CBA}$，
$\because AC=13$，
$\therefore AB=13$，
设$AM=x$，则$BM=13-x$，
由勾股定理，得：$CM^{2}=AC^{2}-AM^{2}=BC^{2}-BM^{2}$，
$\therefore 13^{2}-x^{2}=10^{2}-\left(13-x\right)^{2}$，
解得：$x=\frac{119}{13}$，
$\therefore CM=\sqrt{13^2-(\frac{119}{13})^2}=\frac{120}{13}$，
$\therefore S_{△CBA}=\frac{1}{2}AB•CM=60$，
$\therefore$四边形$EBFC$的面积为$60$，
故答案为：$60$.