$(1)$证明：$\because E$是$AD$的中点，
$\therefore AE=DE$，
$\because AF$∥$BC$，
$\therefore \angle AFE=\angle DBE$，
在$\triangle AEF$和$\triangle DEB$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠DBE}\\{∠AEF=∠DEB}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle AEF$≌$\triangle DEB\left(AAS\right)$，
$\therefore AF=DB$，
$\because D$是$BC$的中点，
$\therefore BD=DC$
$\therefore AF=DC$
$\therefore$四边形$ADCF$是平行四边形，
$\because \angle BAC=90^{\circ}$，$D$是$BC$的中点，
$\therefore AD=\frac{1}{2}BC=CD$，
$\therefore$四边形$ADCF$是菱形；
$(2)$当$AB=AC$时，四边形$ADCF$是正方形，
$\because AB=AC$，$D$是$BC$的中点，
$\therefore AD\bot BC$，
$\because$四边形$ADCF$是菱形，
$\therefore$四边形$ADCF$是正方形；
$(3)$$\because D$是$BC$的中点，四边形$ADCF$是菱形，
$\therefore S_{菱形ABCD}=2S_{\triangle ADC}=S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB•AC=\frac{1}{2}×8×6=24$.
故答案为：$24$.

$(1)$证明：$\because E$是$AD$的中点，
$\therefore AE=DE$，
$\because AF$∥$BC$，
$\therefore \angle AFE=\angle DBE$，
在$\triangle AEF$和$\triangle DEB$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠DBE}\\{∠AEF=∠DEB}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle AEF$≌$\triangle DEB\left(AAS\right)$，
$\therefore AF=DB$，
$\because D$是$BC$的中点，
$\therefore BD=DC$
$\therefore AF=DC$
$\therefore$四边形$ADCF$是平行四边形，
$\because \angle BAC=90^{\circ}$，$D$是$BC$的中点，
$\therefore AD=\frac{1}{2}BC=CD$，
$\therefore$四边形$ADCF$是菱形；
$(2)$当$AB=AC$时，四边形$ADCF$是正方形，
$\because AB=AC$，$D$是$BC$的中点，
$\therefore AD\bot BC$，
$\because$四边形$ADCF$是菱形，
$\therefore$四边形$ADCF$是正方形；
$(3)$$\because D$是$BC$的中点，四边形$ADCF$是菱形，
$\therefore S_{菱形ABCD}=2S_{\triangle ADC}=S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB•AC=\frac{1}{2}×8×6=24$.
故答案为：$24$.