$(1)$证明：$D$是$\triangle ABC$外接圆上的动点，且$PC=PB$，
$\therefore \angle PCB=\angle PBC$，四边形$ABCD$为圆内接四边形，
$\therefore \angle BAD+\angle BCD=180^{\circ}$，
$\because \angle PCB+\angle BCD=180^{\circ}$，
$\therefore \angle PCB=\angle BAD$，
$\therefore \angle BAD=\angle PBC$；
$(2)$四边形$BCDH$为平行四边形，理由如下：
$\because \widehat {BD}=\widehat {BD}$，
$\therefore \angle BAD=\angle BFD$，
由（1）知：$\angle BAD=\angle PBC$，
$\therefore \angle PBC=\angle BFD$，
$\therefore BC$∥$DF$，
$\because DE\bot AB$，
$\therefore BC\bot AB$，
$\because BG\bot AD$，
$\therefore \angle AGB=\angle ABC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BAD=\angle GBC=90^{\circ}-\angle ABG$，
由（1）知：$\angle BAD+\angle BCD=180^{\circ}$，
$\therefore \angle GBC+\angle BCD=180^{\circ}$，
$\therefore CD$∥$BG$，
又$\because BC$∥$DF$，
$\therefore$四边形$BCDH$为平行四边形；
$(3)$由（2）知：四边形$BCDH$是平行四边形，
$\therefore BC=DH$，
$\therefore AB=\sqrt{3}DH=\sqrt{3}BC$，
在$Rt\triangle ABC$中，$tan∠ACB=\frac{AB}{BC}=\sqrt{3}$，
$\therefore \angle ACB=60^{\circ}$，
$\therefore \angle BAC=30^{\circ}$，
$\therefore ∠ADB=60°，BC=\frac{1}{2}AC$，
$\therefore DH=\frac{1}{2}AC$，
$\triangle ABC$外接圆的圆心为$O$，若$AB=\sqrt{3}DH，∠OHD=80°$，分两种情况讨论：
①当点$O$在$DE$的左侧时，如图$1$，作直径$DM$，连接$AM$、$OH$，则$\angle DAM=90^{\circ}$，

$\therefore \angle AMD+\angle ADM=90^{\circ}$，
$\because DE\bot AB$，
$\therefore \angle BED=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BDE+\angle ABD=90^{\circ}$，
$\because \angle AMD=\angle ABD$，
$\therefore \angle ADM=\angle BDE$，
$\because DH=\frac{1}{2}AC$，
$\therefore DH=OD$，
$\therefore \angle DOH=\angle OHD=80^{\circ}$，
$\therefore \angle ODH=20^{\circ}$，
$\because \angle ADB=60^{\circ}$，
$\therefore \angle ADM+\angle BDE=40^{\circ}$，
$\therefore \angle BDE=\angle ADM=20^{\circ}$，
②当点$O$在$DE$的右侧时，如图$2$，作直径$DN$，连接$BN$，

由①同理得：$\angle ADE=\angle BDN=20^{\circ}$，$\angle ODH=20^{\circ}$，
$\therefore \angle BDE=\angle BDN+\angle ODH=40^{\circ}$，
综上所述，$\angle BDE$的度数为$20^{\circ}$或$40^{\circ}$.

$(1)$证明：$D$是$\triangle ABC$外接圆上的动点，且$PC=PB$，
$\therefore \angle PCB=\angle PBC$，四边形$ABCD$为圆内接四边形，
$\therefore \angle BAD+\angle BCD=180^{\circ}$，
$\because \angle PCB+\angle BCD=180^{\circ}$，
$\therefore \angle PCB=\angle BAD$，
$\therefore \angle BAD=\angle PBC$；
$(2)$四边形$BCDH$为平行四边形，理由如下：
$\because \widehat {BD}=\widehat {BD}$，
$\therefore \angle BAD=\angle BFD$，
由（1）知：$\angle BAD=\angle PBC$，
$\therefore \angle PBC=\angle BFD$，
$\therefore BC$∥$DF$，
$\because DE\bot AB$，
$\therefore BC\bot AB$，
$\because BG\bot AD$，
$\therefore \angle AGB=\angle ABC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BAD=\angle GBC=90^{\circ}-\angle ABG$，
由（1）知：$\angle BAD+\angle BCD=180^{\circ}$，
$\therefore \angle GBC+\angle BCD=180^{\circ}$，
$\therefore CD$∥$BG$，
又$\because BC$∥$DF$，
$\therefore$四边形$BCDH$为平行四边形；
$(3)$由（2）知：四边形$BCDH$是平行四边形，
$\therefore BC=DH$，
$\therefore AB=\sqrt{3}DH=\sqrt{3}BC$，
在$Rt\triangle ABC$中，$tan∠ACB=\frac{AB}{BC}=\sqrt{3}$，
$\therefore \angle ACB=60^{\circ}$，
$\therefore \angle BAC=30^{\circ}$，
$\therefore ∠ADB=60°，BC=\frac{1}{2}AC$，
$\therefore DH=\frac{1}{2}AC$，
$\triangle ABC$外接圆的圆心为$O$，若$AB=\sqrt{3}DH，∠OHD=80°$，分两种情况讨论：
①当点$O$在$DE$的左侧时，如图$1$，作直径$DM$，连接$AM$、$OH$，则$\angle DAM=90^{\circ}$，

$\therefore \angle AMD+\angle ADM=90^{\circ}$，
$\because DE\bot AB$，
$\therefore \angle BED=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BDE+\angle ABD=90^{\circ}$，
$\because \angle AMD=\angle ABD$，
$\therefore \angle ADM=\angle BDE$，
$\because DH=\frac{1}{2}AC$，
$\therefore DH=OD$，
$\therefore \angle DOH=\angle OHD=80^{\circ}$，
$\therefore \angle ODH=20^{\circ}$，
$\because \angle ADB=60^{\circ}$，
$\therefore \angle ADM+\angle BDE=40^{\circ}$，
$\therefore \angle BDE=\angle ADM=20^{\circ}$，
②当点$O$在$DE$的右侧时，如图$2$，作直径$DN$，连接$BN$，

由①同理得：$\angle ADE=\angle BDN=20^{\circ}$，$\angle ODH=20^{\circ}$，
$\therefore \angle BDE=\angle BDN+\angle ODH=40^{\circ}$，
综上所述，$\angle BDE$的度数为$20^{\circ}$或$40^{\circ}$.