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九年级数学解答题一般
题目
如图,在△ABC\triangle ABC中,AC=BCAC=BC,∠ACB=90∘\angle ACB=90^{\circ},DD为ACAC上一点（与点AA,CC不重合）,连接BDBD,过点AA作AE⊥BDAE\bot BD的延长线于EE.
(1)(1)①在图中作出△ABC\triangle ABC的外接圆⊙O\odot O,并用文字描述圆心OO的位置；
②连接OEOE,求证:点EE在⊙O\odot O上；
(2)(2)①延长线段BDBD至点FF,使EF=AEEF=AE,连接CFCF,根据题意补全图形；
②用等式表示线段CFCF与ABAB的数量关系,并证明.
知识点：点与圆的位置关系I、三角形的外接圆与外心章节：第28章 圆 / 28.2 过三点的圆

答案与解析

答案

（1）①如图，圆心OO的位置在线段ABAB的中点；
②证明：∵AE⊥BD\because AE\bot BD
∴△AEB\therefore \triangle AEB为直角三角形，
∵\because点OO为线段ABAB的中点，
∴OE=OA=OB\therefore OE=OA=OB，
∴\therefore点EE在⊙O\odot O上；
(2)(2)①如图，
②AB=2CFAB=\sqrt{2}CF.
证明如下：
∵AC=BC\because AC=BC，∠ACB=90∘\angle ACB=90^{\circ}
∴∠BAC=∠CBA=45∘\therefore \angle BAC=\angle CBA=45^{\circ}
∴∠BEC=∠BAC=45∘\therefore \angle BEC=\angle BAC=45^{\circ}，
∵AE⊥BD\because AE\bot BD
∴∠BEA=90∘\therefore \angle BEA=90^{\circ}
∴∠CEA=90∘+45∘=135∘\therefore \angle CEA=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}
∵∠CEF=180∘−∠CEB=135∘\because \angle CEF=180^{\circ}-\angle CEB=135^{\circ}
∴∠CEA=∠CEF\therefore \angle CEA=\angle CEF
∵AE=EF\because AE=EF，∠CEA=∠CEF\angle CEA=\angle CEF，CE=CECE=CE，
∴△CEA\therefore \triangle CEA≌△CEF(SAS)\triangle CEF\left(SAS\right)，
∴CF=CA\therefore CF=CA，
∵AB=2BC\because AB=\sqrt{2}BC，
∴AB=2CF\therefore AB=\sqrt{2}CF.

解析

（1）①如图，圆心OO的位置在线段ABAB的中点；
②证明：∵AE⊥BD\because AE\bot BD
∴△AEB\therefore \triangle AEB为直角三角形，
∵\because点OO为线段ABAB的中点，
∴OE=OA=OB\therefore OE=OA=OB，
∴\therefore点EE在⊙O\odot O上；
(2)(2)①如图，
②AB=2CFAB=\sqrt{2}CF.
证明如下：
∵AC=BC\because AC=BC，∠ACB=90∘\angle ACB=90^{\circ}
∴∠BAC=∠CBA=45∘\therefore \angle BAC=\angle CBA=45^{\circ}
∴∠BEC=∠BAC=45∘\therefore \angle BEC=\angle BAC=45^{\circ}，
∵AE⊥BD\because AE\bot BD
∴∠BEA=90∘\therefore \angle BEA=90^{\circ}
∴∠CEA=90∘+45∘=135∘\therefore \angle CEA=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}
∵∠CEF=180∘−∠CEB=135∘\because \angle CEF=180^{\circ}-\angle CEB=135^{\circ}
∴∠CEA=∠CEF\therefore \angle CEA=\angle CEF
∵AE=EF\because AE=EF，∠CEA=∠CEF\angle CEA=\angle CEF，CE=CECE=CE，
∴△CEA\therefore \triangle CEA≌△CEF(SAS)\triangle CEF\left(SAS\right)，
∴CF=CA\therefore CF=CA，
∵AB=2BC\because AB=\sqrt{2}BC，
∴AB=2CF\therefore AB=\sqrt{2}CF.

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