在学习二次根式的过程中,小红发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系.例如:由$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=1$,可得$\sqrt{2}+1$与$\sqrt{2}-1$互为倒数,即$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$,$\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1$.类似地,$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$,$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$,$\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$,$\frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$,根据小红发现的规律,解决下列问题:
$(1)\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}=$______,$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}= \_\_\_\_\_\_;(n$为正整数）
$(2)$若$\frac{1}{2\sqrt{2}+m}=2\sqrt{2}-m$,则$m=$______；
$(3)$计算:$\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+⋯+\frac{1}{\sqrt{1000}+\sqrt{999}}$.