已知以$x$为自变量的二次函数$y=-x^{2}+2x+m-1$的图象与$y$轴交于点$\left(0,3\right)$.
$(1)$求$m$的值及此二次函数的解析式；
$(2)$求此二次函数图象的顶点坐标及图象与$x$轴的交点坐标；
$(3)$若$-2 \lt x \lt 3$,求$y$的取值范围.