如图$1$,在平面直角坐标系中有长方形$OABC$,点$C\left(0,4\right)$,将长方形$OABC$沿$AC$折叠,使得点$B$落在点$D$处,$CD$边交$x$轴于点$E$,$\angle OAC=30^{\circ}$.
$(1)$求点$D$的坐标；
$(2)$如图$2$,点$N$为$OC$的中点,在直线$AC$上是否分别存在点$M$,使得$\triangle EMN$的周长最小?如果存在,求出$\triangle EMN$周长的最小值；如果不存在,请说明理由；
$(3)$点$P$为$y$轴上一动点,作直线$AP$交直线$CD$于点$Q$,存在点$P$使得$\triangle CPQ$为等腰三角形,请直接写出$\angle OAP$的度数.