在平面直角坐标系中,点$O$为坐标原点,直线$y=kx+2\left(k \lt 0\right)$交$x$轴于点$C$,交$y$轴于点$B$.
$(1)$求点$B$的坐标；
$(2)$如图$1$,点$A$在第一象限,连接$AB$、$AC$,$\angle ACB=90^{\circ}$,$\angle ABC=60^{\circ}$,若点$C$的横坐标为$t$,点$A$的横坐标为$d$,求$d$与$t$之间的函数关系式（不要求写出$t$的取值范围）；
$(3)$如图$2$,在（2）的条件下,在$y$轴上取点$F\left(0,7\right)$,连接$CF$,点$E$为$AB$的中点,在$y$轴上存在一点$G$,若$\angle AGE=\angle CFO$,且$\angle GAE+\angle FBC=180^{\circ}$,求点$E$的坐标.