如图,在平面直角坐标系中,点$O$为原点,▱$ABCD$的顶点$B$、$C$在$x$轴上,$A$在$y$轴上,$OA=OC=2OB=4$,直线$y=x+t\left(-2\leqslant t\leqslant 4\right)$分别与$x$轴,$y$轴,线段$AD$,直线$AB$交于点$E$,$F$,$P$,$Q$.

$(1)$当$t=1$时,求证:$AP=DP$.
$(2)$探究线段$AP$,$PQ$之间的数量关系,并说明理由.
$(3)$在$x$轴上是否存在点$M$,使得$\angle PMQ=90^{\circ}$,且以点$M$、$P$、$Q$为顶点的三角形与$\triangle AOB$相似,若存在,请直接写出点$M$的坐标；若不存在,请说明理由.