如图$1$,函数$y=\frac{1}{2}x+3$与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$,点$C$与点$A$关于$y$轴对称.
$(1)$求直线$BC$的函数解析式；
$(2)$设点$M$是$x$轴上的一个动点,过点$M$作$y$轴的平行线,交直线$AB$于点$P$,交直线$BC$于点$Q$.
①若$PQ$的长为$4$,求点$M$的坐标；
②如图$2$,连接$BM$,在点$M$的运动过程中是否存在点$P$,使$\angle BMP=\angle BAC$,若存在,请求出点$P$坐标；若不存在,请说明理由.