C

$\because BE=DF$，
$\therefore BF+EF=DE+EF$，
即$BF=DE$，
$A.\because AF$∥$CE$，
$\therefore \angle AFE=\angle CEF$，
$\therefore \angle AFB=\angle CED$，
又$\angle B=\angle D$，$BF=DE$，符合全等三角形的判定定理$ASA$，能推出$\triangle ABF$≌$\triangle CDE$，故本选项不符合题意；
$B.\angle A=\angle C$，$\angle B=\angle D$，$BF=DE$，符合全等三角形的判定定理$AAS$，能推出$\triangle ABF$≌$\triangle CDE$，故本选项不符合题意；
$C.AF=CE$，$BF=DE$，$\angle B=\angle D$，不符合全等三角形的判定定理，不能推出$\triangle ABF$≌$\triangle CDE$，故本选项符合题意；
$D.AB=CD$，$\angle B=\angle D$，$BF=DE$，符合全等三角形的判定定理$SAS$，能推出$\triangle ABF$≌$\triangle CDE$，故本选项不符合题意；
故选：$C$.