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九年级数学填空题一般
题目
如图,由边长为11的小正方形构成的网格中,每个小正方形的顶点叫做格点,△ABC\triangle ABC的顶点在格点上.请用无刻度尺按要求作图:
(1)(1)在第（1）图中:
①作△ABC\triangle ABC的高AHAH；
②直接写出线段AHAH的长为______.
(2)(2)在第（2）图中:
①找一格点DD使AD⊥ACAD\bot AC且AD=ACAD=AC；
②连接CDCD,在CDCD上画出一点FF,连接AFAF,使AFAF将四边形ABCDABCD的面积平分.
知识点：线段垂直平分线的性质、勾股定理、作图——轴对称变换、轴对称——最短路线问题章节：第23章 图形的变换 / 23.3 轴对称变换

答案与解析

答案

（1）①如图（1），线段AHAH为所求；

证明：取网格点MM、NN、PP，连接PNPN、PBPB、AMAM，如图（2），

结合网格易得：BP=AMBP=AM，PN=BMPN=BM，∠AMB=∠BPN=90∘\angle AMB=\angle BPN=90^{\circ}
∴△BNP\therefore \triangle BNP≌△APM\triangle APM，即有∠PAM=∠PBN\angle PAM=\angle PBN，
∵∠PAM+∠MPA=90∘\because \angle PAM+\angle MPA=90^{\circ}，
∴∠PBN+∠MPA=90∘\therefore \angle PBN+\angle MPA=90^{\circ}，
∴\therefore在△PBH\triangle PBH中，∠PHB=90∘\angle PHB=90^{\circ}，即AH⊥BCAH\bot BC，AHAH符合要求；
②∵BC=12+22=5\because BC=\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{5}，S△ABC=3×3−12×3×3−12×3×1−12×3×1=32S_{\triangle ABC}=3\times 3-\frac{1}{2}\times 3\times 3-\frac{1}{2}\times 3\times 1-\frac{1}{2}\times 3\times 1=\frac{3}{2}，
∴S△ABC=12BC⋅AH=32\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AH=\frac{3}{2}，
∴AH=355\therefore AH=\frac{3\sqrt{5}}{5}，
故答案为：355\frac{3\sqrt{5}}{5}；
(2)(2)①如图33，点DD为所求；
②如图33，点FF为所求.

①证明：结合网格图和勾股定理，可得AC2=32+32=18=AD2AC^{2}=3^{2}+3^{2}=18=AD^{2}，CD2=62CD^{2}=6^{2}，
即AC2+AD2=CD2AC^{2}+AD^{2}=CD^{2}，AC=ADAC=AD，
即△ACD\triangle ACD是直角三角形，∠CAD=90∘\angle CAD=90^{\circ}，
即有：AC⊥ADAC\bot AD，AC=ADAC=AD，即DD点满足要求；
②证明：由割补法，可求得△ABC\triangle ABC的面积为S△ABC=1.5S_{\triangle ABC}=1.5，
根据DE=1DE=1，则△ADE\triangle ADE的面积S△ADE=1.5S_{\triangle ADE}=1.5，
∴△ABC\therefore \triangle ABC与△ADE\triangle ADE的面积相等，
根据网格作图可知，线段CECE的中点为FF，
∴S△ACF=S△AEF\therefore S_{\triangle ACF}=S_{\triangle AEF}，
∴S△ACF+S△ABC=S△AEF+S△AED\therefore S_{\triangle ACF}+S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AEF}+S_{\triangle AED}，
则线段AFAF平分四边形ABCDABCD的面积.

解析

（1）①如图（1），线段AHAH为所求；

证明：取网格点MM、NN、PP，连接PNPN、PBPB、AMAM，如图（2），

结合网格易得：BP=AMBP=AM，PN=BMPN=BM，∠AMB=∠BPN=90∘\angle AMB=\angle BPN=90^{\circ}
∴△BNP\therefore \triangle BNP≌△APM\triangle APM，即有∠PAM=∠PBN\angle PAM=\angle PBN，
∵∠PAM+∠MPA=90∘\because \angle PAM+\angle MPA=90^{\circ}，
∴∠PBN+∠MPA=90∘\therefore \angle PBN+\angle MPA=90^{\circ}，
∴\therefore在△PBH\triangle PBH中，∠PHB=90∘\angle PHB=90^{\circ}，即AH⊥BCAH\bot BC，AHAH符合要求；
②∵BC=12+22=5\because BC=\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{5}，S△ABC=3×3−12×3×3−12×3×1−12×3×1=32S_{\triangle ABC}=3\times 3-\frac{1}{2}\times 3\times 3-\frac{1}{2}\times 3\times 1-\frac{1}{2}\times 3\times 1=\frac{3}{2}，
∴S△ABC=12BC⋅AH=32\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AH=\frac{3}{2}，
∴AH=355\therefore AH=\frac{3\sqrt{5}}{5}，
故答案为：355\frac{3\sqrt{5}}{5}；
(2)(2)①如图33，点DD为所求；
②如图33，点FF为所求.

①证明：结合网格图和勾股定理，可得AC2=32+32=18=AD2AC^{2}=3^{2}+3^{2}=18=AD^{2}，CD2=62CD^{2}=6^{2}，
即AC2+AD2=CD2AC^{2}+AD^{2}=CD^{2}，AC=ADAC=AD，
即△ACD\triangle ACD是直角三角形，∠CAD=90∘\angle CAD=90^{\circ}，
即有：AC⊥ADAC\bot AD，AC=ADAC=AD，即DD点满足要求；
②证明：由割补法，可求得△ABC\triangle ABC的面积为S△ABC=1.5S_{\triangle ABC}=1.5，
根据DE=1DE=1，则△ADE\triangle ADE的面积S△ADE=1.5S_{\triangle ADE}=1.5，
∴△ABC\therefore \triangle ABC与△ADE\triangle ADE的面积相等，
根据网格作图可知，线段CECE的中点为FF，
∴S△ACF=S△AEF\therefore S_{\triangle ACF}=S_{\triangle AEF}，
∴S△ACF+S△ABC=S△AEF+S△AED\therefore S_{\triangle ACF}+S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AEF}+S_{\triangle AED}，
则线段AFAF平分四边形ABCDABCD的面积.

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